Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2022

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\right)$.

a) Compruebe que las matrices $A$ y $B$ son regulares. [0,5 puntos]

b) Calcule las matrices inversas de $A$ y $B$. [0,5 puntos]

c) Despeje $X$ en la ecuación matricial $AXB=A^t-3B$ en donde $A^t$ denota la matriz traspuesta de $A$. [0,75 puntos]

d) Calcule $X$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{regulares.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada es regular cuando su determinante no se anula, así que basta calcularlos.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\mid =-4+3=-1\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}-1& -3\\ 1& 2\end{array}\mid =-2+3=1\mathrm{\ne }0$

Las dos son regulares y, por tanto, las dos tienen inversa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{inversas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para una matriz de orden dos la inversa se escribe directamente intercambiando la diagonal principal, cambiando de signo la secundaria y dividiendo por el determinante.

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{cc}-2& -3\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)$

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{1}}\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)$

Obsérvese que $A^{-1}=A$: la matriz $A$ coincide con su propia inversa.



El producto de matrices no es conmutativo, de modo que hay que multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda y por $B^{-1}$ por la derecha, cada uno por el lado en que aparece.

$A^{-1}AXB{B}^{-1}=A^{-1}(A^t-3B)B^{-1}$

$X=A^{-1}(A^t-3B)B^{-1}$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{X}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Resolvemos primero el paréntesis.

$A^t-3B=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 3& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-3& -9\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 0& -8\end{array}\right)$

Multiplicamos ahora por la izquierda:

$A^{-1}(A^t-3B)=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}5& 8\\ 0& -8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}10& -8\\ -5& 8\end{array}\right)$

y por la derecha:

$X=\left(\begin{array}{cc}10& -8\\ -5& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}28& 38\\ -18& -23\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}28& 38\\ -18& -23\end{array}\right)$.