Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2023

Considere la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 2& 0& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\right)$ en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$.

a) Calcule el determinante de $A$ en función del parámetro $a$. [0,5 puntos]

b) Calcule el rango de $A$ en función del parámetro $a$. [0,75 puntos]

c) Determine para qué valores de $a$ la matriz $A$ tiene inversa. [0,5 puntos]

d) Sea $B$ el conjunto de los $a\in \mathbb{R}$ tales que $A$ tiene inversa. Calcule la inversa de $A$ para los diferentes valores del parámetro $a\in B$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Aplicamos la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& a\\ 2& 0& 3\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =0-6+2a-0-3-2$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2a-11$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{rango}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Igualamos el determinante a cero para localizar el valor conflictivo.

$2a-11=0\Rightarrow a={\displaystyle \frac{11}{2}}$

Si $a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{11}{2}}$, entonces $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y las tres filas son independientes:

$\mathrm{ran}(A)=3$

Si $a={\displaystyle \frac{11}{2}}$, el determinante se anula, pero el menor formado por las dos primeras filas y las dos primeras columnas no:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& 0\end{array}\mid =0+2=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es regular, es decir, si su determinante no se anula.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=2a-11\mathrm{\ne }0\Rightarrow a\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{11}{2}}$

La matriz $A$ tiene inversa para todo $a\in \mathbb{R}\setminus \left\{{\displaystyle \frac{11}{2}}\right\}$, que es el conjunto $B$ del apartado siguiente.



Usamos la adjunta de la traspuesta, que es lo que da directamente la inversa.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ -1& 0& 1\\ a& 3& -1\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(A^t)=\left(\begin{array}{ccc}-3& a-1& -3\\ 8& -2a-1& 2a-3\\ 2& -3& 2\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(A^t)}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{2a-11}}\left(\begin{array}{ccc}-3& a-1& -3\\ 8& -2a-1& 2a-3\\ 2& -3& 2\end{array}\right)$

Esta expresión vale para todo $a\in B$. Como comprobación, con $a=0$ resulta $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-11$ y

$A^{-1}=-{\displaystyle \frac{1}{11}}\left(\begin{array}{ccc}-3& -1& -3\\ 8& -1& -3\\ 2& -3& 2\end{array}\right)$

cuyo producto por $A$ devuelve la matriz identidad.