Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · 2024

Considere la ecuación $AX=B$, donde $A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ -2& 1& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}-9& 6\\ -1& 5\\ 2& -5\end{array}\right)$.

a) Calcule el determinante de $A$. [0,25 puntos]

b) Razone si $A$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcule la inversa de $A$. [1 punto]

c) Determine el número de filas y de columnas de $X$ para que la ecuación tenga sentido. [0,25 puntos]

d) Calcule el valor de $X$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{determinante}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Desarrollamos por la tercera columna, que solo tiene un elemento no nulo.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ -2& 1& 0\end{array}\mid =1\cdot (-1{)}^{1+3}\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\mid =1-2=-1$

El determinante de $A$ vale $-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathit{A}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{de}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero. Como $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-1\mathrm{\ne }0$, la matriz $A$ es regular y existe $A^{-1}$. La calculamos con la adjunta de la traspuesta.

$A^t=\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -2\\ 1& -1& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{Adj}(A^t)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{\mathrm{Adj}(A^t)}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 2& 1\\ -1& -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ 0& -2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{filas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{columnas}}\mathbf{\text{de}}\mathit{X}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{ecuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{sentido.}}\mathbf{\text{[0,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para que el producto $AX$ esté definido, $X$ debe tener tantas filas como columnas tiene $A$; y para que el resultado sea $B$, tantas columnas como $B$.

$A_{3\times 3}\cdot X_{3\times 2}=B_{3\times 2}$

La matriz $X$ tiene $3$ filas y $2$ columnas.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathit{X}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Multiplicamos la ecuación por $A^{-1}$ por la izquierda, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$.

$AX=B\Rightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Rightarrow X=A^{-1}B$

$X=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -1\\ 0& -2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-9& 6\\ -1& 5\\ 2& -5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -5\\ -10& 11\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -5\\ -10& 11\end{array}\right)$.