Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2026

En un ecosistema interactúan tres especies que llamaremos A, B y C. La población de cada especie en el mes $k$ viene dada por $a_k$, $b_k$ y $c_k$, respectivamente. La evolución de sus poblaciones puede modelizarse mediante la relación existente entre las poblaciones en un mes $k+1$ y en el mes anterior, $k$:

$\left(\begin{array}{c}{a}_{k+1}\\ b_{k+1}\\ c_{k+1}\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\\ c_k\end{array}\right)\text{con }M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Si en el instante inicial ($k=0$) hay 100 ejemplares de la especie A, 124 de la especie B y 234 de la especie C, ¿cuántos ejemplares hay de cada especie dos meses después? [0,5 puntos]

b) Razona (sin calcular $M^k$) que se cumple la siguiente relación

$\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\\ c_k\end{array}\right)=M^k\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\\ c_0\end{array}\right),$

donde $a_0$, $b_0$ y $c_0$ son el número de ejemplares de cada especie en el instante inicial. [0,5 puntos]

c) Calcula $M^k$ con $k\in \mathbb{N}$. ¿Qué ocurrirá con el número de ejemplares de cada una de las especies con el paso del tiempo? [1 punto]

La matriz $M$ transforma la población de un mes en la del mes siguiente, de modo que basta aplicarla dos veces seguidas, partiendo de los datos del instante inicial.

$\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ b_1\\ c_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}100\\ 124\\ 234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 100+124\\ 100+234\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 224\\ 334\end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}{a}_2\\ b_2\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}100\\ 224\\ 334\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 100+224\\ 100+334\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}100\\ 324\\ 434\end{array}\right)$

Dos meses después hay 100 ejemplares de la especie A, 324 de la especie B y 434 de la especie C.



La relación del enunciado es una fórmula de recurrencia: cada población se obtiene de la del mes anterior multiplicando por $M$. Basta entonces ir sustituyendo hacia atrás y agrupar los factores, cosa que permite la propiedad asociativa del producto de matrices.

$\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\\ c_k\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{a}_{k-1}\\ b_{k-1}\\ c_{k-1}\end{array}\right)=M\left[M\left(\begin{array}{c}{a}_{k-2}\\ b_{k-2}\\ c_{k-2}\end{array}\right)\right]=M^2\left(\begin{array}{c}{a}_{k-2}\\ b_{k-2}\\ c_{k-2}\end{array}\right)$

Repitiendo el mismo paso, cada vez que se retrocede un mes aparece un factor $M$ más y el subíndice baja en una unidad. Tras $k$ pasos se llega al instante inicial:

$\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\\ c_k\end{array}\right)=M^k\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\\ c_0\end{array}\right)$

Formalmente es una demostración por inducción: la igualdad es cierta para $k=1$ (es la propia definición del modelo) y, si se supone cierta para $k$, entonces para $k+1$ se tiene $v_{k+1}=M{v}_k=M\left(M^k{v}_0\right)=M^{k+1}{v}_0$.



Calculamos las primeras potencias, observamos la ley de formación y la demostramos por inducción.

$M^2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$

$M^3=M^2\cdot M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 3& 1& 0\\ 3& 0& 1\end{array}\right)$

Todo apunta a que la única diferencia con la identidad son los dos unos de la primera columna, que se van acumulando:

$M^k=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ k& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right),k\in \mathbb{N}$

Lo comprobamos suponiéndolo cierto para $k$ y multiplicando una vez más:

$M^k\cdot M=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ k& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ k+1& 1& 0\\ k+1& 0& 1\end{array}\right)=M^{k+1}$

Con la expresión de $M^k$ y el apartado b) obtenemos las tres poblaciones en el mes $k$:

$\left(\begin{array}{c}{a}_k\\ b_k\\ c_k\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ k& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ b_0\\ c_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_0\\ k{a}_0+b_0\\ k{a}_0+c_0\end{array}\right)$

${\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k=a_0,{\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_k={\displaystyle \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{c}_k=+\mathrm{\infty }}}}$

La especie A mantiene indefinidamente su población inicial, mientras que las especies B y C crecen sin límite, ganando cada mes tantos ejemplares como individuos tiene la especie A. Con los datos del apartado a), A se queda siempre en 100 ejemplares y B y C aumentan en 100 cada mes.