Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2026

Sean $A$, $M$ y $N$ tres matrices cuadradas de tamaño $4\times 4$ que satisfacen la condición

$M\cdot A=I+N\cdot A,$

donde $I$ es la matriz identidad de orden 4.

a) Justifica que $A$ es regular. [1 punto]

b) Si $M=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1\mathrm{/}2& 1\mathrm{/}2& \sqrt{3}& 0\\ 1\mathrm{/}3& 5& 0& -1\\ \pi & 0& 2& 2\end{array}\right)$ y $N=\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 4& 2\\ 1\mathrm{/}2& -1\mathrm{/}2& \sqrt{3}& 1\\ 1\mathrm{/}3& 5& -1& 0\\ \pi & 0& 2& 1\end{array}\right)$, calcula $A^{-1}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{que}}\mathit{A}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{regular.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada es regular cuando su determinante no es nulo. La condición del enunciado permite despejar el producto de dos matrices que da la identidad, y de ahí sale el determinante buscado sin conocer $A$.

$M\cdot A=I+N\cdot A$

$M\cdot A-N\cdot A=I$

Sacamos $A$ como factor común por la derecha, que es donde aparece en los dos sumandos:

$(M-N)\cdot A=I$

Tomamos determinantes en los dos miembros y usamos que el determinante de un producto es el producto de los determinantes:

$\mathrm{\mid }M-N\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }I\mathrm{\mid }=1$

Si $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$ fuese 0, el primer miembro sería 0 y la igualdad no podría cumplirse. Por tanto

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow A\text{ es regular}$

Además, la igualdad $(M-N)A=I$ identifica directamente la inversa: $A^{-1}=M-N$.



Por el apartado anterior no hay que invertir nada: la inversa de $A$ es la diferencia de las dos matrices que da el enunciado, y se calcula restando elemento a elemento.

$A^{-1}=M-N=\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 1\mathrm{/}2& 1\mathrm{/}2& \sqrt{3}& 0\\ 1\mathrm{/}3& 5& 0& -1\\ \pi & 0& 2& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cccc}0& 3& 4& 2\\ 1\mathrm{/}2& -1\mathrm{/}2& \sqrt{3}& 1\\ 1\mathrm{/}3& 5& -1& 0\\ \pi & 0& 2& 1\end{array}\right)$

$A^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}1& -1& -1& 2\\ 0& 1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Las raíces y el número $\pi$ desaparecen al restar, y queda una matriz triangular superior cuyo determinante es el producto de la diagonal:

$\mid A^{-1}\mid =1\cdot 1\cdot 1\cdot 1=1\mathrm{\ne }0$

lo que confirma lo demostrado en el apartado a). La inversa pedida es la matriz triangular anterior.