Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2020

Resuelva el sistema matricial

$\{\begin{array}{l}X-2Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 0& -2& 0\end{array}\right)\\ 2X+3Y=\left(\begin{array}{ccc}7& 6& -1\\ 14& 3& 7\end{array}\right)\end{array}$

[2 puntos]

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas, $X$ e $Y$, que se resuelve igual que un sistema numérico: las matrices se suman y se multiplican por escalares con las mismas reglas. Todas las matrices que aparecen son de orden $2\times 3$, así que $X$ e $Y$ también lo serán.

$\{\begin{array}{l}X-2Y=M_1\\ 2X+3Y=M_2\end{array}{M}_1=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 0& -2& 0\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{ccc}7& 6& -1\\ 14& 3& 7\end{array}\right)$

La primera ecuación da $X$ despejada, así que resolvemos por sustitución:

$X=M_1+2Y\Rightarrow 2(M_1+2Y)+3Y=M_2\Rightarrow 7Y=M_2-2M_1$

$M_2-2M_1=\left(\begin{array}{ccc}7& 6& -1\\ 14& 3& 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}0& 6& 6\\ 0& -4& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 0& -7\\ 14& 7& 7\end{array}\right)$

$Y={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{ccc}7& 0& -7\\ 14& 7& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$

$X=M_1+2Y=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 3\\ 0& -2& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}2& 0& -2\\ 4& 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 4& 0& 2\end{array}\right)$

Comprobamos en la segunda ecuación:

$2X+3Y=\left(\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 8& 0& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -3\\ 6& 3& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}7& 6& -1\\ 14& 3& 7\end{array}\right)=M_2$

Las soluciones son $X=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 4& 0& 2\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$.