Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

Dada la siguiente matriz:

$P=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& -k& -2k\\ 1& -k& 0\end{array}\right)$

a) Estudie el rango de la matriz $A=I+P$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3, según los valores de $k\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Para $k=1$, calcule la inversa de la matriz $A$ del apartado anterior. [1 punto]

Sumar la identidad equivale a sumar 1 a cada elemento de la diagonal principal.

$A=I+P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1-k& -2k\\ 1& -k& 1\end{array}\right)$

Como $A$ es cuadrada de orden 3, se estudia su determinante. Restando la primera fila a las otras dos, operación que no lo altera, la primera columna queda con dos ceros:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& -k& -2k-1\\ 0& -k-1& 0\end{array}\mid =1\cdot \mid \begin{array}{cc}-k& -2k-1\\ -k-1& 0\end{array}\mid$

$=0-(-2k-1)(-k-1)=-(2k+1)(k+1)$

$-(2k+1)(k+1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ k=-1\end{array}$

$\text{Si }k\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ y }k\mathrm{\ne }-1:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante se busca un menor de orden 2 no nulo.

$k=-{\displaystyle \frac{1}{2}}:A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& \frac{3}{2}& 1\\ 1& \frac{1}{2}& 1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& \frac{3}{2}\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$k=-1:A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En resumen: el rango de $A$ es 2 si $k=-\frac{1}{2}$ o $k=-1$, y 3 para cualquier otro valor de $k$.



Para $k=1$ el determinante vale $-(2+1)(1+1)=-6\mathrm{\ne }0$, así que la matriz es invertible.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right);\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-6$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-2& -3& -1\\ -2& 0& 2\\ -2& 3& -1\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(A)]}^T=-{\displaystyle \frac{1}{6}}\left(\begin{array}{ccc}-2& -2& -2\\ -3& 0& 3\\ -1& 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{6}& -\frac{1}{3}& \frac{1}{6}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 0& -2\\ 1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{1}{2}& 0& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{6}& -\frac{1}{3}& \frac{1}{6}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es la matriz obtenida.