Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

Dadas las siguientes matrices:

$B=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right),C_1=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\\ 1& 0\end{array}\right),C_2=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right)$

a) Compruebe que la matriz $B$ tiene inversa y calcúlela. [1 punto]

b) Calcule la matriz $X$ que verifica la siguiente ecuación matricial: $I+BX=C_1{C}_2$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Compruebe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{B}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lela.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo.

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\mid =-3+1+1+1-3-1=-4$

$\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow B\text{ es invertible}$

La calculamos por el método de la matriz adjunta.

$\mathrm{Adj}(B)=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 2\\ 0& -2& -2\\ -2& -2& 4\end{array}\right)$

$B^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }B\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(B)]}^T=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 0& -2& -2\\ 2& -2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$B\cdot B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$



Se despeja la incógnita antes de operar. Como $X$ está multiplicada por la izquierda por $B$, se multiplica por $B^{-1}$ también por la izquierda.

$I+BX=C_1{C}_2\Rightarrow BX=C_1{C}_2-I\Rightarrow X=B^{-1}(C_1{C}_2-I)$

El producto $C_1{C}_2$ es de orden $3\times 3$, como debe ser para poder restarle la identidad de orden 3.

$C_1{C}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 3& 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ -6& 4& -1\\ -1& 2& 0\end{array}\right)$

$C_1{C}_2-I=\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 1\\ -6& 4& -1\\ -1& 2& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ -6& 3& -1\\ -1& 2& -1\end{array}\right)$

$X=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ 0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ -6& 3& -1\\ -1& 2& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ -\frac{7}{2}& \frac{5}{2}& -1\\ -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$BX=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 1\\ 1& 1& 1\\ -1& 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ -\frac{7}{2}& \frac{5}{2}& -1\\ -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 4& 1\\ -6& 3& -1\\ -1& 2& -1\end{array}\right)=C_1{C}_2-I$

La matriz pedida es $X=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ -\frac{7}{2}& \frac{5}{2}& -1\\ -\frac{5}{2}& -\frac{5}{2}& 0\end{array}\right)$.