Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2020

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}0& 2& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$:

a) Calcule, si es posible, ${(A\cdot B^t)}^{-1}$. [1 punto]

b) Compruebe que $C^3=I$, donde $I$ es la matriz identidad, y calcule $C^{16}$. [1 punto]

La traspuesta de $B$ es de orden $3\times 2$, de modo que el producto $A\cdot B^t$ es de orden $2\times 2$ y tiene sentido plantearse su inversa.

$B^t=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B^t=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ -1& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 0\end{array}\right)$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo:

$\mid A\cdot B^t\mid =\mid \begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 0\end{array}\mid =0-4=-4\mathrm{\ne }0$

Para una matriz de orden 2 la inversa se escribe directamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando de signo los de la secundaria, todo dividido por el determinante:

${(A\cdot B^t)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-4}}\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{4}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$\left(\begin{array}{cc}3& 4\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{4}& -\frac{3}{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$



Se calculan las potencias sucesivas hasta llegar a la tercera.

$C^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-1& -1+0\\ 1+0& -1+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$

$C^3=C^2\cdot C=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

Que el cubo sea la identidad hace que las potencias se repitan con periodo 3, así que para calcular $C^{16}$ basta dividir el exponente entre 3 y quedarse con el resto.

$16=3\cdot 5+1$

$C^{16}=C^{3\cdot 5+1}={\left(C^3\right)}^5\cdot C=I^5\cdot C=C=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$

Queda comprobado que $C^3=I$, y $C^{16}=C=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$.