Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

a) Resuelva el siguiente sistema matricial

$\{\begin{array}{l}2X+3Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)\\ 3X-2Y=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 4\end{array}\right)\end{array}$

[1 punto]

b) Calcule ${\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)}^n$, con $n\in \mathbb{N}$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Resuelva}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{siguiente}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{matricial.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Es un sistema de dos ecuaciones matriciales con dos incógnitas, $X$ e $Y$, que se resuelve por reducción igual que un sistema numérico: las matrices se suman y se multiplican por escalares con las mismas reglas.

$\{\begin{array}{l}2X+3Y=M_1\\ 3X-2Y=M_2\end{array}{M}_1=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& 7\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 4\end{array}\right)$

Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para eliminar $Y$ al sumarlas:

$\{\begin{array}{l}4X+6Y=2M_1\\ 9X-6Y=3M_2\end{array}\Rightarrow 13X=2M_1+3M_2$

$2M_1+3M_2=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ 6& 14\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}15& 9\\ -6& 12\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}13& 13\\ 0& 26\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{13}}\left(\begin{array}{cc}13& 13\\ 0& 26\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$

Sustituyendo en la primera ecuación se despeja $Y$:

$3Y=M_1-2X=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 3& 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 3& 3\end{array}\right)\Rightarrow Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$

Comprobamos en la segunda ecuación:

$3X-2Y=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 0& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 2& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ -2& 4\end{array}\right)=M_2$

Las soluciones son $X=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ e $Y=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$.



Se calculan las primeras potencias hasta reconocer la ley que siguen y después se demuestra por inducción.

$C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right);C^2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -3& 1\end{array}\right)$

$C^3=C^2\cdot C=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ -3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ -7& 1\end{array}\right)$

En la esquina superior izquierda aparecen las potencias de 2, y en la inferior izquierda los valores $-1,-3,-7$, que son $1-2$, $1-4$ y $1-8$. Se conjetura, pues,

$C^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 1-2^n& 1\end{array}\right)$

Lo probamos por inducción. Para $n=1$ se recupera $C$. Suponiéndolo cierto para $n$:

$C^{n+1}=C^n\cdot C=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 1-2^n& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}& 0\\ 2-2^{n+1}-1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{2}^{n+1}& 0\\ 1-2^{n+1}& 1\end{array}\right)$

que es la fórmula para $n+1$. Queda así probado que $C^n=\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 1-2^n& 1\end{array}\right)$ para todo $n\in \mathbb{N}$.