Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2021

Dada la siguiente matriz:

$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right)$

a) Estudie el rango de la matriz $A-kI$ según los valores de $k\in \mathbb{R}$, donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. [1,25 puntos]

b) Calcule la inversa de $A-kI$ para $k=0$. [0,75 puntos]

Restar $kI$ equivale a restar $k$ a cada elemento de la diagonal principal.

$A-kI=\left(\begin{array}{ccc}-k& 0& -2\\ 1& 2-k& 1\\ 1& 0& 3-k\end{array}\right)$

La segunda columna tiene dos ceros, así que el determinante se desarrolla por ella con un solo sumando:

$\mathrm{\mid }A-kI\mathrm{\mid }=(2-k)\mid \begin{array}{cc}-k& -2\\ 1& 3-k\end{array}\mid =(2-k)[-k(3-k)+2]=(2-k)(k^2-3k+2)$

$k^2-3k+2=(k-1)(k-2)\Rightarrow \mathrm{\mid }A-kI\mathrm{\mid }=-(k-2{)}^2(k-1)$

$\mathrm{\mid }A-kI\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}k=1\\ k=2\text{ (doble)}\end{array}$

$\text{Si }k\mathrm{\ne }1\text{ y }k\mathrm{\ne }2:\mathrm{\mid }A-kI\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A-kI)=3$

$k=1:A-I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& -2\\ 1& 1& 1\\ 1& 0& 2\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}-1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}=2$

$k=2:A-2I=\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& -2\\ 1& 0& 1\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$

Aquí las tres filas son proporcionales a $(1,0,1)$, de modo que todos los menores de orden 2 se anulan y solo queda algún elemento no nulo:

$\mathrm{ran}(A-2I)=1$

En resumen: el rango es 1 si $k=2$, 2 si $k=1$ y 3 para cualquier otro valor de $k$.



Para $k=0$ la matriz es la propia $A$, y por el apartado anterior su rango es 3, luego es invertible. Su determinante se obtiene sustituyendo en la expresión ya calculada:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-(0-2{)}^2(0-1)=4\mathrm{\ne }0$

Calculamos la inversa por el método de la matriz adjunta.

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}6& -2& -2\\ 0& 2& 0\\ 4& -2& 0\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(A)]}^T={\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}6& 0& 4\\ -2& 2& -2\\ -2& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}& 0& 1\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -2\\ 1& 2& 1\\ 1& 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{3}{2}& 0& 1\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es la matriz obtenida.