Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2024

Dadas las siguientes matrices

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& m\\ 4& 4& 2m\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}3\\ 5\\ 12\end{array}\right),m\in \mathbb{R}$

a) Analice el rango de la matriz $A$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Resuelva el sistema $A\cdot X=B$ para el valor $m=2$. [0,8 puntos]

$A$ es cuadrada de orden 3, así que su rango vale 3 como máximo y se empieza por el determinante. Los valores del parámetro que lo anulan son los únicos en los que el rango puede bajar.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& m& m\\ 4& 4& 2m\end{array}\mid =2m^2-4m-(2m-4m)+(4-4m)=2m^2-6m+4$

$2m^2-6m+4=0\Rightarrow m^2-3m+2=0\Rightarrow m={\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{9-8}}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=1\\ m=2\end{array}$

$\text{Si }m\mathrm{\ne }1\text{ y }m\mathrm{\ne }2:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3$

Para los dos valores que anulan el determinante hay que buscar un menor de orden 2 no nulo.

$m=1\Rightarrow A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 4& 4& 2\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 2\end{array}\mid =2-4=-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$m=2\Rightarrow A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 4& 4& 4\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =2-1=1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En resumen: el rango de $A$ es 2 si $m=1$ o $m=2$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.



Para $m=2$ el apartado anterior da $\mathrm{ran}(A)=2$. Hay que comparar ese rango con el de la matriz ampliada para aplicar el teorema de Rouché-Frobenius.

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 3\\ 1& 2& 2& 5\\ 4& 4& 4& 12\end{array}\right)$

La tercera fila es cuatro veces la primera, término independiente incluido, luego no aporta nada y el rango de la ampliada tampoco pasa de 2:

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Se resuelve con las dos primeras ecuaciones, que son las que dan el menor de orden 2 no nulo:

$\{\begin{array}{l}x+y+z=3\\ x+2y+2z=5\end{array}$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$y+z=2\Rightarrow y=2-z$

$x=3-y-z=3-(2-z)-z=1$

Tomamos como parámetro la incógnita que no es principal:

$(x,y,z)=(1,2-\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la tercera ecuación, que es la que se ha descartado:

$4\cdot 1+4(2-\lambda )+4\lambda =4+8-4\lambda +4\lambda =12$

El sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta $(1,2-\lambda ,\lambda )$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.