Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Sean las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& 0\\ 1& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ -2& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right),D=A\cdot B^T-2I$

donde $B^T$ es la matriz traspuesta de $B$, e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

a) Estudie si la matriz $D$ tiene inversa y, en caso afirmativo, calcúlela. [1 punto]

b) Resuelva la ecuación matricial $CX=A^T\cdot B$, donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{matriz}}\mathit{D}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{inversa}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calc}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{lela.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Primero se calcula $D$. La traspuesta de $B$ es de orden $2\times 3$, así que el producto $A\cdot B^T$ es de orden $3\times 3$ y puede restársele $2I$ con $I$ de orden 3.

$B^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$A\cdot B^T=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& 0\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 1& -2\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 4\\ 2& 2& -4\\ 1& 0& -2\end{array}\right)$

$D=A\cdot B^T-2I=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 4\\ 2& 2& -4\\ 1& 0& -2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}-4& -1& 4\\ 2& 0& -4\\ 1& 0& -4\end{array}\right)$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo. La segunda columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar por ella:

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}-4& -1& 4\\ 2& 0& -4\\ 1& 0& -4\end{array}\mid =-(-1)\mid \begin{array}{cc}2& -4\\ 1& -4\end{array}\mid =1\cdot (-8+4)=-4$

$\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }=-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{D}^{-1}$

La calculamos por el método de la matriz adjunta: la inversa es la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por el determinante.

$\mathrm{Adj}(D)=\left(\begin{array}{ccc}0& 4& 0\\ -4& 12& -1\\ 4& -8& 2\end{array}\right);{[\mathrm{Adj}(D)]}^T=\left(\begin{array}{ccc}0& -4& 4\\ 4& 12& -8\\ 0& -1& 2\end{array}\right)$

$D^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }D\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(D)]}^T=-{\displaystyle \frac{1}{4}}\left(\begin{array}{ccc}0& -4& 4\\ 4& 12& -8\\ 0& -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& -3& 2\\ 0& \frac{1}{4}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$D\cdot D^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-4& -1& 4\\ 2& 0& -4\\ 1& 0& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ -1& -3& 2\\ 0& \frac{1}{4}& -\frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$



La incógnita está multiplicada por la izquierda por $C$, así que se despeja multiplicando por $C^{-1}$ también por la izquierda. Calculamos antes el segundo miembro.

$A^T=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)$

$A^T\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 2& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\\ -2& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\mid =0-3=-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{\exists }{C}^{-1}$

Para una matriz de orden 2 la inversa se escribe directamente intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando de signo los de la secundaria:

$C^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-3}}\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\end{array}\right)$

$CX=A^T\cdot B\Rightarrow X=C^{-1}(A^T\cdot B)$

$X=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ \frac{1}{3}& -\frac{2}{3}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -\frac{8}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$

Comprobamos que la matriz obtenida verifica la ecuación:

$CX=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -\frac{8}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6-8& 0+2\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 2\\ 3& 0\end{array}\right)$

La solución de la ecuación matricial es $X=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -\frac{8}{3}& \frac{2}{3}\end{array}\right)$.