Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Dada la siguiente matriz:

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& m\\ 2& m& m+2\\ m-1& 2& 1\end{array}\right)$

a) Discuta el rango de la matriz $A$ según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule la inversa de la matriz $A$ para el valor $m=1$. [1 punto]

Al ser $A$ cuadrada de orden 3, su rango es 3 salvo para los valores del parámetro que anulan su determinante. Lo calculamos por la regla de Sarrus.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -1& m\\ 2& m& m+2\\ m-1& 2& 1\end{array}\mid$

Desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}m& m+2\\ 2& 1\end{array}\mid +1\mid \begin{array}{cc}2& m+2\\ m-1& 1\end{array}\mid +m\mid \begin{array}{cc}2& m\\ m-1& 2\end{array}\mid$

$=(m-2m-4)+(2-(m+2)(m-1))+m(4-m(m-1))$

$=(-m-4)+(4-m^2-m)+(4m-m^3+m^2)=2m-m^3=m(2-m^2)$

$m(2-m^2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}m=0\\ m=\sqrt{2}\\ m=-\sqrt{2}\end{array}$

$\text{Si }m\mathrm{\ne }0,\pm \sqrt{2}:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3$

Para cada uno de los tres valores que anulan el determinante basta encontrar un menor de orden 2 no nulo para concluir que el rango es 2. Sirve en los tres casos el que forman las dos primeras filas y columnas:

$\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2& m\end{array}\mid =m+2$

$m=0:m+2=2\mathrm{\ne }0;m=\sqrt{2}:m+2=\sqrt{2}+2\mathrm{\ne }0;m=-\sqrt{2}:m+2=2-\sqrt{2}\mathrm{\ne }0$

En los tres casos $\mathrm{ran}(A)=2$. En resumen: el rango de $A$ es 2 si $m=0$, $m=\sqrt{2}$ o $m=-\sqrt{2}$, y 3 para cualquier otro valor de $m$.



Para $m=1$ el determinante vale $1\cdot (2-1)=1\mathrm{\ne }0$, así que la matriz es invertible. La inversa se obtiene como la traspuesta de la matriz de adjuntos dividida por el determinante.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& 3\\ 0& 2& 1\end{array}\right);\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1$

$\mathrm{Adj}(A)=\left(\begin{array}{ccc}-5& -2& 4\\ 3& 1& -2\\ -4& -1& 3\end{array}\right)$

$A^{-1}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }}}{[\mathrm{Adj}(A)]}^T=\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& -4\\ -2& 1& -1\\ 4& -2& 3\end{array}\right)$

Comprobamos el resultado:

$A\cdot A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 2& 1& 3\\ 0& 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& -4\\ -2& 1& -1\\ 4& -2& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

La inversa pedida es $A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-5& 3& -4\\ -2& 1& -1\\ 4& -2& 3\end{array}\right)$.