Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Aragón · 2023

Sabiendo que $\mid \begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 0& 5\\ a& b& c\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$, calcule razonadamente el determinante de la matriz

$A={\left(\begin{array}{ccc}4a+2& 4b+4& 4c+6\\ 3a& 3b& 3c\\ a+4& b& c+5\end{array}\right)}^2$

[2 puntos]

No hace falta —ni se puede— calcular $a$, $b$ y $c$: se trata de escribir las filas de la matriz que se eleva al cuadrado como combinación lineal de las del determinante conocido y aplicar después las propiedades de los determinantes. Llamamos

$F_1=(1,2,3);F_2=(4,0,5);F_3=(a,b,c);\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Observando las filas de la matriz que hay dentro del cuadrado:

$(4a+2,4b+4,4c+6)=4F_3+2F_1$

$(3a,3b,3c)=3F_3$

$(a+4,b,c+5)=F_3+F_2$

Llamamos $M$ a esa matriz, de modo que $A=M^2$. Un determinante es lineal en cada fila por separado, así que se desdobla el que tiene la suma en la primera fila:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{c}4F_3+2F_1\\ 3F_3\\ F_3+F_2\end{array}\mid =4\mid \begin{array}{c}{F}_3\\ 3F_3\\ F_3+F_2\end{array}\mid +2\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ 3F_3\\ F_3+F_2\end{array}\mid$

El primer determinante tiene sus dos primeras filas proporcionales, luego es nulo. En el segundo se saca el factor 3 de la segunda fila y se vuelve a desdoblar la tercera:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=2\cdot 3\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_3+F_2\end{array}\mid =6(\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_3\end{array}\mid +\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_2\end{array}\mid )$

El primero de los dos vuelve a tener dos filas iguales y se anula. El segundo se obtiene del dato intercambiando las filas segunda y tercera, lo que cambia el signo del determinante:

$\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_3\\ F_2\end{array}\mid =-\mid \begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\\ F_3\end{array}\mid =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=6(0-{\displaystyle \frac{1}{2}})=-3$

Por último, el determinante de un producto de matrices es el producto de los determinantes:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid M^2\mid =\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\cdot \mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=(-3{)}^2=9$

El determinante de la matriz $A$ vale 9.