Examen de Matemáticas II de Aragón 2024 (convocatoria ordinaria)

Dada la siguiente función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{e^{2x}-1}{x}}& \text{si }x\mathrm{\ne }0\\ a& \text{si }x=0\end{array}a\in \mathbb{R}$

a) Estudie su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$. [1 punto]

b) Para el valor de $a=1$, calcule los puntos de corte de la recta tangente a la curva en $x=1$ con los ejes $OX$ y $OY$. [1 punto]

Calcule justificadamente el siguiente límite

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }[\sqrt{x^2+5}-(x+2)]}$

[2 puntos]

a) Calcule $a$, $b$ y $c\in \mathbb{R}$ tales que la función

$f(x)=ax+b\mathrm{sen}(x)\cos (x)+c$

sea una primitiva de $g(x)={\mathrm{sen}}^2(x)$. Recuerde que ${\mathrm{sen}}^2(x)+{\cos }^2(x)=1\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Sabiendo que $\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}(x)\cos (x)$, demuestre que

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)$

[0,8 puntos]

Demuestre que, entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado. [2 puntos]

Dadas las siguientes matrices:

$A=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 2& 0\\ 0& -1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),C=A^T\cdot B+I_2$

donde $A^T$ es la matriz traspuesta de $A$, e $I_2$ es la matriz identidad de orden 2.

a) Calcule $C^{2n}$, con $n\in \mathbb{N}$. [0,8 puntos]

b) Resuelva la ecuación $C\cdot X=5(A^T\cdot B)$. [1,2 puntos]

Dada la matriz $A=\left(\begin{array}{ccc}2& -3& 4\\ -4& 6& m-6\\ 2& -3& m+6\end{array}\right)$, con $m\in \mathbb{R}$ un parámetro.

a) Estudie el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $m\in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Resuelva, si es posible, el sistema homogéneo $A\cdot X=\mathbf{0}$ cuando $m=6$. [0,8 puntos]

Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4 %; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10 % y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21 %. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de 483 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 1954 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación.

Calcule los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido. [2 puntos]

Dados los puntos $P_1(-2,1,1)$, $P_2(0,a,-2)$, $P_3(-1,1,-1)$ y $P_4(1,3,-3)$, se pide:

a) Calcule los valores de $a\in \mathbb{R}$ para que el tetraedro con vértices $P_1$, $P_2$, $P_3$ y $P_4$ tenga volumen $1\mathrm{/}3$. [1,2 puntos]

b) Calcule el valor de $a\in \mathbb{R}$ para que los cuatro puntos sean coplanarios. [0,8 puntos]

Una asignatura de matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Zaragoza tiene 99 personas matriculadas (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban la asignatura 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos).

a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos? [1,2 puntos]

b) Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,8 puntos]

Vamos a suponer que durante el año 2023, las llegadas de turistas a nuestro país se realizaron de la siguiente forma: un 55 % llegó en avión, un 30 % llegó en tren, un 10 % llegó en autobús y un 5 % llegó en barco. Además, sabemos que, de todos estos viajeros, visitaron Aragón el 50 % de los que vinieron en avión, el 60 % de los que vinieron en tren, el total de los que viajaron en autobús, y un 20 % de los que vinieron en barco. Con estos datos, se pide:

a) Calcule la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren. [1 punto]