Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

a) Calcule $a$, $b$ y $c\in \mathbb{R}$ tales que la función

$f(x)=ax+b\mathrm{sen}(x)\cos (x)+c$

sea una primitiva de $g(x)={\mathrm{sen}}^2(x)$. Recuerde que ${\mathrm{sen}}^2(x)+{\cos }^2(x)=1\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Sabiendo que $\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}(x)\cos (x)$, demuestre que

$\cos (2x)={\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)$

[0,8 puntos]

Que $f$ sea una primitiva de $g$ significa que $f^{\mathrm{\prime }}(x)=g(x)$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Derivamos $f$, usamos la relación fundamental de la trigonometría para dejar la derivada escrita solo en función de ${\mathrm{sen}}^2(x)$ e identificamos coeficientes.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+b[\cos (x)\cos (x)+\mathrm{sen}(x)(-\mathrm{sen}(x))]=a+b[{\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)]$

${\cos }^2(x)=1-{\mathrm{sen}}^2(x)\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=a+b[1-2{\mathrm{sen}}^2(x)]=(a+b)-2b{\mathrm{sen}}^2(x)$

Para que esta expresión coincida con ${\mathrm{sen}}^2(x)$ en todo $\mathbb{R}$ deben coincidir el coeficiente de ${\mathrm{sen}}^2(x)$ y el término independiente:

$\{\begin{array}{l}-2b=1\\ a+b=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ a={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$

La constante $c$ desaparece al derivar, luego no queda determinada: cualquier valor real de $c$ sirve, y cada uno de ellos da una primitiva distinta de $g$.

Comprobamos el resultado derivando la función obtenida:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{sen}(x)\cos (x)+c\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}[{\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)]={\mathrm{sen}}^2(x)$

Los valores pedidos son $a=\frac{1}{2}$, $b=-\frac{1}{2}$ y $c$ cualquier número real.



Basta derivar la igualdad de partida. Si dos funciones son iguales en todo $\mathbb{R}$, sus derivadas también lo son, y la derivada del primer miembro hace aparecer $\cos (2x)$.

$\mathrm{sen}(2x)=2\mathrm{sen}(x)\cos (x)\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$

Derivamos el primer miembro aplicando la regla de la cadena:

${\displaystyle \frac{d}{dx}}[\mathrm{sen}(2x)]=2\cos (2x)$

Derivamos el segundo miembro aplicando la regla del producto:

${\displaystyle \frac{d}{dx}}[2\mathrm{sen}(x)\cos (x)]=2[\cos (x)\cos (x)+\mathrm{sen}(x)(-\mathrm{sen}(x))]=2[{\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)]$

Igualando ambas derivadas y simplificando el factor 2:

$2\cos (2x)=2[{\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)]\Rightarrow \cos (2x)={\cos }^2(x)-{\mathrm{sen}}^2(x)$

Queda así demostrada la igualdad pedida.