Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x)=-x^2+4x$ y la recta de pendiente ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ que corta a $f(x)$ en $x={\displaystyle \frac{7}{2}}$. [2 puntos]

El enunciado no da la recta directamente, sino su pendiente y un punto por el que pasa: el de la curva de abscisa $\frac{7}{2}$. Se determina primero esa recta, después sus cortes con la parábola —que delimitan el recinto— y por último se integra la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$f\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)=-{\left({\displaystyle \frac{7}{2}}\right)}^2+4\cdot {\displaystyle \frac{7}{2}}=-{\displaystyle \frac{49}{4}}+14={\displaystyle \frac{7}{4}}$

$y-{\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(x-{\displaystyle \frac{7}{2}})\Rightarrow y={\displaystyle \frac{x}{2}}-{\displaystyle \frac{7}{4}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{x}{2}}$

La recta pasa, pues, por el origen. Igualamos las dos funciones para hallar los extremos del recinto:

$-x^2+4x={\displaystyle \frac{x}{2}}\Rightarrow -x^2+{\displaystyle \frac{7x}{2}}=0\Rightarrow x(-x+{\displaystyle \frac{7}{2}})=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x={\displaystyle \frac{7}{2}}\end{array}$

Para saber cuál de las dos gráficas queda por encima basta evaluarlas en un punto intermedio, por ejemplo $x=1$:

$f(1)=3>{\displaystyle \frac{1}{2}}$











La parábola va por encima de la recta en todo el intervalo, de modo que el área es la integral de la diferencia, en ese orden.

$\mathcal{A}={\displaystyle {\int }_0^{7\mathrm{/}2}[(-x^2+4x)-{\displaystyle \frac{x}{2}}]dx}$





Calculamos la integral y aplicamos la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\displaystyle {\int }_0^{7\mathrm{/}2}(-x^2+{\displaystyle \frac{7x}{2}})dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{7x^2}{4}}]}_0^{7\mathrm{/}2}}$

$=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{343}{8}}+{\displaystyle \frac{7}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{49}{4}}-0=-{\displaystyle \frac{343}{24}}+{\displaystyle \frac{343}{16}}$

$=343({\displaystyle \frac{1}{16}}-{\displaystyle \frac{1}{24}})=343\cdot {\displaystyle \frac{3-2}{48}}={\displaystyle \frac{343}{48}}\approx \mathrm{7,1458}$

El área del recinto limitado por la parábola y la recta es de $\frac{343}{48}\approx \mathrm{7,1458}$ unidades de área.