Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Dada la siguiente función:

$f(x)=x{e}^{-a{x}^2},a\in \mathbb{R}$

a) Determine los valores de $a\in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$ y tenga la asíntota horizontal $y=0$. [1 punto]

b) Calcule, para el valor $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$, el área que encierra la gráfica de la curva $f(x)$ entre el eje $X$ y las rectas $x=0$ y $x=1$. [1 punto]

Son dos condiciones que hay que estudiar por separado. La primera no restringe nada, y es la segunda la que fija el parámetro.

La función es el producto de un polinomio por una exponencial, y ambas son continuas en todo $\mathbb{R}$ sea cual sea $a$. Por tanto $f$ es continua en $\mathbb{R}$ para cualquier valor del parámetro.

Que $y=0$ sea asíntota horizontal significa que la función tiende a cero cuando $x$ se va a infinito. Se distinguen tres casos según el signo de $a$.

$\text{Si }a=0:f(x)=x\Rightarrow {\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x=+\mathrm{\infty }}$

No hay asíntota horizontal.

$\text{Si }a<0:-a>0\Rightarrow e^{-a{x}^2}\to +\mathrm{\infty }\Rightarrow {\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^{-a{x}^2}=+\mathrm{\infty }}$

Tampoco la hay: los dos factores crecen a la vez.

$\text{Si }a>0:{\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }x{e}^{-a{x}^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^{a{x}^2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}}$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x}{e^{a{x}^2}}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{2ax{e}^{a{x}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\infty }}}=0}$

El mismo cálculo, con los signos cambiados, da $0$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$: la exponencial es un infinito de orden superior a cualquier potencia.

La función es continua en $\mathbb{R}$ para todo $a$, y tiene la asíntota horizontal $y=0$ exactamente cuando $a>0$.



Con ese valor del parámetro la función es $f(x)=x{e}^{-x^2\mathrm{/}2}$. Antes de integrar hay que comprobar el signo de la función en el intervalo, porque si cambiara habría que partir la integral.

$x\in [0,1]\Rightarrow x\ge 0\text{ y }{e}^{-x^2\mathrm{/}2}>0\Rightarrow f(x)\ge 0$











La función es positiva en todo el intervalo, así que el área es directamente la integral definida.

$\mathcal{A}={\displaystyle {\int }_0^{1}x{e}^{-x^2\mathrm{/}2}dx}$





Se resuelve por cambio de variable, porque en el integrando aparece la derivada del exponente salvo una constante.

$\{\begin{array}{l}t=-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\\ dt=-xdx\Rightarrow xdx=-dt\end{array}$

${\displaystyle \int x{e}^{-x^2\mathrm{/}2}dx=-\int e^{t}dt=-e^t=-e^{-x^2\mathrm{/}2}}$

Aplicando la regla de Barrow:

$\mathcal{A}={[-e^{-x^2\mathrm{/}2}]}_0^1=-e^{-1\mathrm{/}2}+e^0=1-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{0,3935}$

El área pedida es de $1-e^{-1\mathrm{/}2}\approx \mathrm{0,3935}$ unidades de área.