Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule:

${\displaystyle \int e^{-x}(x^2-1)dx}$

[2 puntos]

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, así que se resuelve por partes tomando el polinomio como $u$: cada aplicación rebaja su grado en una unidad, y con dos aplicaciones se llega a una integral inmediata.

$\{\begin{array}{ll}u=x^2-1& du=2xdx\\ dv=e^{-x}dx& v=-e^{-x}\end{array}$

${\displaystyle \int e^{-x}(x^2-1)dx=-e^{-x}(x^2-1)+\int 2x{e}^{-x}dx}$

Aplicamos de nuevo la integración por partes a la integral que queda:

$\{\begin{array}{ll}u=2x& du=2dx\\ dv=e^{-x}dx& v=-e^{-x}\end{array}$

${\displaystyle \int 2x{e}^{-x}dx=-2x{e}^{-x}+\int 2e^{-x}dx=-2x{e}^{-x}-2e^{-x}}$

Reuniendo los dos resultados y sacando factor común la exponencial:

${\displaystyle \int e^{-x}(x^2-1)dx=-e^{-x}(x^2-1)-2x{e}^{-x}-2e^{-x}+C}$

$=-e^{-x}(x^2-1+2x+2)+C=-e^{-x}(x^2+2x+1)+C=-e^{-x}(x+1{)}^2+C$

Comprobamos derivando el resultado:

${[-e^{-x}(x+1{)}^2]}^{\mathrm{\prime }}=e^{-x}(x+1{)}^2-2e^{-x}(x+1)=e^{-x}(x+1)[(x+1)-2]=e^{-x}(x^2-1)$

La integral pedida vale $-e^{-x}(x+1{)}^2+C$.