Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Demuestre que, entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado. [2 puntos]

Se llaman $x$ e $y$ a las dimensiones, en centímetros, de un rectángulo cualquiera de perímetro $P$. El perímetro es un dato fijo, de modo que sirve para escribir una de las dos variables en función de la otra; el área queda entonces como función de una sola variable y se busca su máximo absoluto.











$2x+2y=P\Rightarrow y={\displaystyle \frac{P-2x}{2}}={\displaystyle \frac{P}{2}}-x$

$A(x)=xy=x({\displaystyle \frac{P}{2}}-x)={\displaystyle \frac{P}{2}}x-x^2,0<x<{\displaystyle \frac{P}{2}}$

El dominio es abierto porque los dos lados han de ser positivos.





Buscamos los puntos críticos de la función área anulando su derivada.

$A^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{P}{2}}-2x$

$A^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{P}{2}}-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{P}{4}}$

Para comprobar que ese único punto crítico es un máximo se recurre a la segunda derivada:

$A^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2<0\mathrm{\forall }x$

La segunda derivada es negativa en todo el dominio, luego en $x=\frac{P}{4}$ hay un máximo relativo, y por ser el único extremo de una función continua en el intervalo se trata del máximo absoluto.

Calculamos la otra dimensión:

$y={\displaystyle \frac{P}{2}}-{\displaystyle \frac{P}{4}}={\displaystyle \frac{P}{4}}=x$

Los dos lados miden lo mismo, de modo que el rectángulo de área máxima entre todos los de perímetro $P$ es el cuadrado de lado $\frac{P}{4}$ cm, cuya área vale $\frac{P^2}{16}{\text{cm}}^2$, como se quería demostrar.