Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Descomponga el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima, y calcule esta suma de forma exacta. [2 puntos]

Se llaman $x$ e $y$ a los dos sumandos, que han de ser positivos y sumar $\sqrt{3}$. La suma que hay que maximizar es la de sus logaritmos en base 3; conviene reunirla en un solo logaritmo, porque el logaritmo es una función creciente y entonces maximizar la suma equivale a maximizar el producto.

$x+y=\sqrt{3},x>0,y>0\Rightarrow y=\sqrt{3}-x,0<x<\sqrt{3}$

$S(x)={\log }_{3}x+{\log }_{3}y={\log }_3(xy)={\log }_3\left[x(\sqrt{3}-x)\right]$

Derivamos, teniendo en cuenta que la derivada de ${\log }_{3}u$ es $\frac{u^{\mathrm{\prime }}}{u\ln 3}$:

$S^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-2x}{x(\sqrt{3}-x)\ln 3}}$

En el intervalo de estudio el denominador es positivo, así que el signo de $S^{\mathrm{\prime }}$ es el del numerador:

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow \sqrt{3}-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

A la izquierda de ese punto $\sqrt{3}-2x>0$ y la función crece; a la derecha $\sqrt{3}-2x<0$ y decrece. Se trata, por tanto, de un máximo, y por ser el único extremo del intervalo es el máximo absoluto.

$y=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=x$

Los dos sumandos son iguales. Calculamos ahora el valor exacto de la suma de logaritmos:

$S\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)={\log }_3({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})={\log }_3{\displaystyle \frac{3}{4}}$

${\log }_3{\displaystyle \frac{3}{4}}={\log }_{3}3-{\log }_{3}4=1-{\log }_{3}4=1-2{\log }_{3}2\approx -\mathrm{0,2619}$

El número $\sqrt{3}$ se descompone en los dos sumandos iguales $\frac{\sqrt{3}}{2}$ y $\frac{\sqrt{3}}{2}$, y la suma máxima de sus logaritmos en base 3 vale exactamente $1-{\log }_{3}4$.