Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x)=\{\begin{array}{ll}a-\cos (x)& x\le 0\\ x^2-b\mathrm{sen}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})& x>0\end{array}a,b\in \mathbb{R}$

a) Estudie su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$ y $b$. [1 punto]

b) Para $a=1$, calcule el valor de $b$ para que, en el punto con $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, la función tenga la recta tangente $y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}x$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbb{R}\mathbf{\text{seg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{y}}\mathit{b}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Conviene simplificar antes la segunda rama. Por la fórmula del seno de una suma, o sin más que recordar que el seno adelantado un cuarto de vuelta es el coseno:

$\mathrm{sen}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\cos (x)\Rightarrow f(x)=\{\begin{array}{ll}a-\cos (x)& x\le 0\\ x^2-b\cos (x)& x>0\end{array}$

Las dos ramas están formadas por polinomios y funciones trigonométricas, continuas en todo $\mathbb{R}$, luego $f$ es continua en $(-\mathrm{\infty },0)$ y en $(0,+\mathrm{\infty })$ cualesquiera que sean $a$ y $b$. El único punto que hay que estudiar es el de empalme.

$f(0)=a-\cos (0)=a-1$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }[a-\cos (x)]=a-1}$

${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }[x^2-b\cos (x)]=0-b\cdot 1=-b}$

El límite por la izquierda ya coincide con el valor de la función, así que la continuidad depende únicamente de que también lo haga el límite por la derecha:

$a-1=-b\Rightarrow a+b=1$

Si $a+b=1$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$. Si $a+b\mathrm{\ne }1$ los dos límites laterales son finitos pero distintos, de modo que $f$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ y presenta en $x=0$ una discontinuidad de salto finito, de amplitud $\mid a-1+b\mid$.



El punto $x=\frac{\pi }{2}$ es positivo, así que la función viene dada por la segunda rama y el valor de $a$ no interviene. La recta tangente en un punto tiene por pendiente la derivada de la función en él, de modo que basta imponer que esa derivada valga $\frac{\pi }{2}$, que es la pendiente de la recta dada.

$f(x)=x^2-b\mathrm{sen}(x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-b\cos (x+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=2x+b\mathrm{sen}(x)$

$f^{\mathrm{\prime }}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+b\mathrm{sen}\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)=\pi +b$

$\pi +b={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow b={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\pi =-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Falta comprobar que, además de tener la pendiente correcta, la recta pasa de verdad por el punto de la curva:

$f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)}^2-b\cos \left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}-b\cdot 0={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}$

$y={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}={\displaystyle \frac{{\pi }^2}{4}}$

Ambos valores coinciden sea cual sea $b$, porque el coseno se anula en $\frac{\pi }{2}$; la condición de tangencia se reduce, pues, a la de la pendiente.

El valor pedido es $b=-\frac{\pi }{2}$.