Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x)={\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}}$

a) Estudie y escriba su dominio de definición. [0,75 puntos]

b) Estudie la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determine las asíntotas caso de existir. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{definici}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La expresión tiene una raíz cuadrada en el denominador, y eso impone dos condiciones a la vez: el radicando no puede ser negativo, para que la raíz exista, y tampoco puede ser cero, para que el denominador no se anule. Las dos juntas obligan a que el radicando sea estrictamente positivo.

$x^2-x-2>0$

Buscamos las raíces del polinomio y estudiamos su signo:

$x^2-x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-1\end{array}\Rightarrow x^2-x-2=(x+1)(x-2)$

Al ser una parábola con las ramas hacia arriba, el polinomio es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. Lo comprobamos evaluando en un punto de cada intervalo:

$x=-2:4+2-2=4>0;x=0:-2<0;x=3:9-3-2=4>0$

El dominio de definición de la función es $\text{Dom}f=(-\mathrm{\infty },-1)\cup (2,+\mathrm{\infty })$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{ramas}}\mathbf{\text{parab}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{licas.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{existir.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Las asíntotas verticales solo pueden estar en los puntos que quedan fuera del dominio pero son extremos de él, es decir, en $x=-1$ y $x=2$; se comprueban con los límites laterales que tienen sentido.

${\displaystyle \underset{x\to -1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}}={\displaystyle \frac{-3}{0^{+}}}=-\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}}$

${\displaystyle \underset{x\to 2^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}}={\displaystyle \frac{3}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=2\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}}$

Los otros dos límites laterales no se estudian porque la función no está definida a la derecha de $-1$ ni a la izquierda de $2$.

Para las asíntotas horizontales hay que llevar cuidado con la raíz: al meter $x$ dentro de ella sale $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$, que vale $x$ si $x\to +\mathrm{\infty }$ y $-x$ si $x\to -\mathrm{\infty }$. Por eso los dos límites son distintos.

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x(2-\frac{1}{x})}{x\sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}}}={\displaystyle \frac{2}{1}}=2}$

${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}}=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x(2-\frac{1}{x})}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}}}={\displaystyle \frac{2}{-1}}=-2}$

Hay, por tanto, dos asíntotas horizontales distintas: $y=2$ por la derecha e $y=-2$ por la izquierda.

Al existir asíntota horizontal en ambos infinitos, la función no tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas: una rama parabólica aparece cuando la función tiende a infinito al alejarse el punto, y aquí se mantiene acotada.



En resumen, $f$ tiene dos asíntotas verticales, $x=-1$ y $x=2$, y dos horizontales, $y=2$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$ e $y=-2$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$; no hay asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas.