Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite:

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }[\sqrt{3x^2-2}-(\sqrt{3}x+5)]}$

[2 puntos]

Los dos sumandos tienden a $+\mathrm{\infty }$, así que aparece la indeterminación $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$. Como uno de ellos es una raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada para convertir la diferencia en un cociente.

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }[\sqrt{3x^2-2}-(\sqrt{3}x+5)]=\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }}$

$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{[\sqrt{3x^2-2}-(\sqrt{3}x+5)][\sqrt{3x^2-2}+(\sqrt{3}x+5)]}{\sqrt{3x^2-2}+\sqrt{3}x+5}}}$

$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(3x^2-2)-{(\sqrt{3}x+5)}^2}{\sqrt{3x^2-2}+\sqrt{3}x+5}}}$

Desarrollamos el cuadrado del numerador:

${(\sqrt{3}x+5)}^2=3x^2+10\sqrt{3}x+25$

$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{3x^2-2-3x^2-10\sqrt{3}x-25}{\sqrt{3x^2-2}+\sqrt{3}x+5}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-10\sqrt{3}x-27}{\sqrt{3x^2-2}+\sqrt{3}x+5}}}$

Numerador y denominador son ahora infinitos del mismo orden, porque $\sqrt{3x^2-2}$ se comporta como $\sqrt{3}x$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$. Dividimos por $x$:

$={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-10\sqrt{3}-\frac{27}{x}}{\sqrt{3-\frac{2}{x^2}}+\sqrt{3}+\frac{5}{x}}}={\displaystyle \frac{-10\sqrt{3}}{\sqrt{3}+\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{-10\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}}=-5}$

El límite pedido vale $-5$.