Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Estudie la existencia del siguiente límite y calcúlelo en caso de existir:

${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)\cdot (3x^5+5x^4-7x^3+2x^2-x+3)+2}{3-(x^2-4)\cdot \sqrt{\mathrm{sen}(2x^2)+(\cos (x){)}^2+\log (x+5)}}}$

[2 puntos]

Antes de manipular nada conviene sustituir, porque la apariencia del cociente engaña: el factor $(x-2)$ del numerador y el factor $(x^2-4)$ del denominador se anulan en $x=2$, pero ninguno de los dos está solo, sino sumado a una constante.

Estudiamos primero el radicando, que ha de ser positivo para que la raíz —y con ella la función— esté definida en un entorno de $x=2$:

$\mathrm{sen}(2\cdot 2^2)+{(\cos 2)}^2+\log (2+5)=\mathrm{sen}(8)+{\cos }^2(2)+\log 7$

Los tres sumandos están acotados y su suma es un número positivo (aproximadamente $\mathrm{3,11}$ midiendo los ángulos en radianes), luego la raíz es un número real y la función del denominador es continua en $x=2$. En realidad su valor exacto no hace falta: va multiplicado por $x^2-4$, que se anula.

${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }[(x-2)\cdot (3x^5+5x^4-7x^3+2x^2-x+3)+2]=0\cdot 77+2=2}$

${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }[3-(x^2-4)\cdot \sqrt{\mathrm{sen}\left(2x^2\right)+{(\cos x)}^2+\log (x+5)}]=3-0\cdot \sqrt{\mathrm{3,11}\dots }=3}$

No hay, por tanto, ninguna indeterminación: numerador y denominador tienen límite finito y el del denominador no es nulo. El límite del cociente es el cociente de los límites.

${\displaystyle \underset{x\to 2}{\lim }{\displaystyle \frac{(x-2)(3x^5+5x^4-7x^3+2x^2-x+3)+2}{3-(x^2-4)\sqrt{\mathrm{sen}\left(2x^2\right)+{(\cos x)}^2+\log (x+5)}}}={\displaystyle \frac{2}{3}}}$

El límite existe y vale $\frac{2}{3}$.