Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left[\frac{(x+1{)}^2}{x^2+3x+1}\right]}^{\ln x}}$

[2 puntos]

Al sustituir, la base tiende a 1 y el exponente a $+\mathrm{\infty }$: es la indeterminación $1^{\mathrm{\infty }}$. Se resuelve con la fórmula que se deduce del número $e$, según la cual el límite es $e$ elevado al límite del producto del exponente por la base menos uno.

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x^2+3x+1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2+3x+1}}=1}$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left[{\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x^2+3x+1}}\right]}^{\ln x}=e^{\mathrm{\Lambda }},\mathrm{\Lambda }=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\ln x[{\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x^2+3x+1}}-1]}$

Operamos dentro del corchete poniendo denominador común:

${\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x^2+3x+1}}-1={\displaystyle \frac{x^2+2x+1-x^2-3x-1}{x^2+3x+1}}={\displaystyle \frac{-x}{x^2+3x+1}}$

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-x\ln x}{x^2+3x+1}}}$

El numerador es un infinito de orden $1$ multiplicado por un logaritmo, y el denominador es de orden $2$. Como el logaritmo es un infinito de orden inferior a cualquier potencia de $x$, el denominador gana:

$\mathrm{\Lambda }={\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-x\ln x}{x^2+3x+1}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{-\ln x}{x+3+\frac{1}{x}}}=0}$

${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left[{\displaystyle \frac{(x+1{)}^2}{x^2+3x+1}}\right]}^{\ln x}=e^0=1}$

El límite pedido vale 1.