Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

El 84 % de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.

a) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5? [0,8 puntos]

b) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5? [1,2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{seleccionamos}}\mathbf{\text{aleatoriamente}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aquellos}}\mathbf{\text{ex}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{menes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5?}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se repite 15 veces un mismo experimento con dos resultados posibles —el examen tiene nota inferior a 5 o no la tiene—, la probabilidad de éxito es la misma en todas las repeticiones y estas son independientes. Se trata, pues, de una distribución binomial. Llamamos éxito a lo que se cuenta en la pregunta:

$X\equiv$ número de exámenes, de los 15 elegidos, con nota inferior a 5

Si el $84\mathrm{\%}$ obtuvo una nota mayor o igual a 5, el $16\mathrm{\%}$ restante la obtuvo inferior:

$p=1-\mathrm{0,84}=\mathrm{0,16}\Rightarrow X\sim B(15;\mathrm{0,16})$

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{k}\right){\mathrm{0,16}}^k{\mathrm{0,84}}^{15-k}$

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{2}\right){\mathrm{0,16}}^2{\mathrm{0,84}}^{13}=105\cdot \mathrm{0,0256}\cdot \mathrm{0,1037}=\mathrm{0,2787}$

La probabilidad de que exactamente 2 de los 15 exámenes tengan nota inferior a 5 es $\mathrm{0,2787}$, es decir, un $\mathrm{27,87}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{15}}\mathbf{\text{ex}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{menes}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{ex}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{menes}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{ex}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{menes}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5?}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hay que comparar $P(X<2)$ con $P(X>2)$. La primera solo tiene dos sumandos y se calcula directamente; la segunda es el complementario de los tres primeros casos, así que se obtiene restando de 1 sin sumar los doce términos restantes.

$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{0}\right){\mathrm{0,16}}^0{\mathrm{0,84}}^{15}={\mathrm{0,84}}^{15}=\mathrm{0,0731}$

$P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{15}{1}\right){\mathrm{0,16}}^1{\mathrm{0,84}}^{14}=15\cdot \mathrm{0,16}\cdot \mathrm{0,0871}=\mathrm{0,2090}$

$P(X<2)=\mathrm{0,0731}+\mathrm{0,2090}=\mathrm{0,2821}$

$P(X>2)=1-P(X\le 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]$

$P(X>2)=1-(\mathrm{0,0731}+\mathrm{0,2090}+\mathrm{0,2787})=1-\mathrm{0,5608}=\mathrm{0,4392}$

$P(X>2)=\mathrm{0,4392}>\mathrm{0,2821}=P(X<2)$

Es más probable que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 —ocurre en algo más del $43\mathrm{\%}$ de las muestras de 15 exámenes— que no que sean menos de 2, que ocurre en algo más del $28\mathrm{\%}$.