Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

De los estudiantes universitarios españoles, uno de cada 5 abandona sus estudios. Se seleccionan 5 estudiantes universitarios españoles al azar, de modo independiente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que uno o ninguno de dichos estudiantes abandonen sus estudios? (No es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando y desarrollando los números y operaciones básicas que la definen, pero sin hacer los cálculos finales). [1 punto]

b) ¿Qué es más probable, que todos abandonen sus estudios, o que ninguno lo haga? Razone la respuesta de modo numérico. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{abandonen}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{estudios?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se eligen 5 estudiantes de manera independiente y de cada uno interesa solo si abandona los estudios o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial. Que abandone uno de cada cinco significa que la probabilidad de abandono es $\frac{1}{5}=\mathrm{0,2}$.

$X\equiv$ número de estudiantes, de los 5 elegidos, que abandonan sus estudios

$X\sim B(5;\mathrm{0,2})\Rightarrow P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{k}\right){\mathrm{0,2}}^k{\mathrm{0,8}}^{5-k}$

Que abandonen uno o ninguno significa $X\le 1$, que son dos casos:

$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right){\mathrm{0,2}}^0{\mathrm{0,8}}^5+\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{1}\right){\mathrm{0,2}}^1{\mathrm{0,8}}^4$

$={\mathrm{0,8}}^5+5\cdot \mathrm{0,2}\cdot {\mathrm{0,8}}^4=\mathrm{0,32768}+\mathrm{0,4096}=\mathrm{0,73728}$

La probabilidad de que abandonen los estudios uno o ninguno de los cinco estudiantes es $\mathrm{0,73728}$, es decir, algo más del $73\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{abandonen}}\mathbf{\text{sus}}\mathbf{\text{estudios,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ninguno}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{haga?}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{modo}}\mathbf{\text{num}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Los dos sucesos son los extremos de la distribución y en ambos el número combinatorio vale 1, así que sus probabilidades son simplemente potencias quintas.

$P(X=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{5}\right){\mathrm{0,2}}^5{\mathrm{0,8}}^0={\mathrm{0,2}}^5=\mathrm{0,00032}$

$P(X=0)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right){\mathrm{0,2}}^0{\mathrm{0,8}}^5={\mathrm{0,8}}^5=\mathrm{0,32768}$

$P(X=0)=\mathrm{0,32768}>\mathrm{0,00032}=P(X=5)$

Es mucho más probable que no abandone ninguno. El cociente lo dice con precisión:

${\displaystyle \frac{P(X=0)}{P(X=5)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{0,8}}^5}{{\mathrm{0,2}}^5}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,2}}}\right)}^5=4^5=1024$

Que no abandone ninguno es 1024 veces más probable que el que abandonen los cinco.