Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20 % por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos:

a) Calcule la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1). [1 punto]

b.1) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtenga estas probabilidades. [0,5 puntos]

b.2) ¿Cómo razonaría esa respuesta sin hacer uso de la calculadora? [0,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tengamos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{desechar}}\mathbf{\text{alguno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{huevos}}\mathbf{\text{seleccionados}}\mathbf{\text{(al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{1).}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se eligen 5 huevos de manera independiente y de cada uno interesa solo si hay que desecharlo o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial.

$X\equiv$ número de huevos no aptos entre los 5 seleccionados

$X\sim B(5;\mathrm{0,2})\Rightarrow P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{k}\right){\mathrm{0,2}}^k{\mathrm{0,8}}^{5-k}$

Desechar alguno significa uno o más. Sumar los cinco casos sería largo; el suceso contrario, que no haya que desechar ninguno, tiene un solo caso.

$P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{0}\right){\mathrm{0,2}}^0{\mathrm{0,8}}^5=1-{\mathrm{0,8}}^5$

$P(X\ge 1)=1-\mathrm{0,32768}=\mathrm{0,67232}$

La probabilidad de tener que desechar alguno de los 5 huevos es $\mathrm{0,6723}$, es decir, un $\mathrm{67,23}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b.1)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{huevos}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{aptos,}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{huevos}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{aptos?}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{estas}}\mathbf{\text{probabilidades.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se aplica la fórmula de la distribución binomial a cada uno de los dos casos.

$P(X=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right){\mathrm{0,2}}^2{\mathrm{0,8}}^3=10\cdot \mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,512}=\mathrm{0,2048}$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right){\mathrm{0,2}}^3{\mathrm{0,8}}^2=10\cdot \mathrm{0,008}\cdot \mathrm{0,64}=\mathrm{0,0512}$

$P(X=2)=\mathrm{0,2048}>\mathrm{0,0512}=P(X=3)$

Es más probable que haya exactamente 2 huevos no aptos que exactamente 3.

$\mathbf{\text{b.2)}}\mathbf{\text{¿C}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{razonar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{respuesta}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{uso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calculadora?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta comparar las dos expresiones sin llegar a evaluarlas. Los números combinatorios son iguales, porque en el triángulo de Tartaglia cada fila es simétrica:

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{2}\right)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)=10$

Al dividir las dos probabilidades ese factor común desaparece y también se simplifican las potencias:

${\displaystyle \frac{P(X=2)}{P(X=3)}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{0,2}}^2{\mathrm{0,8}}^3}{{\mathrm{0,2}}^3{\mathrm{0,8}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,2}}}=4$

$P(X=2)=4P(X=3)>P(X=3)$

Es, por tanto, cuatro veces más probable que haya exactamente 2 huevos no aptos que exactamente 3. El razonamiento es coherente con que la media de la distribución, $\mu =np=5\cdot \mathrm{0,2}=1$, está más cerca de 2 que de 3.