Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2022

Para la siguiente función:

$f(x)={\displaystyle \frac{x^2+x}{3-x^2}}$

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determine las asíntotas cuando existan. [1,25 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la función en el punto $x=1$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudie}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{existencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{horizontales,}}\mathbf{\text{verticales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{oblicuas,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ramas}}\mathbf{\text{parab}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{licas.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{existan.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es una función racional. Sus posibles asíntotas verticales están en los puntos que anulan el denominador sin anular el numerador, así que se empieza por ahí.

$3-x^2=0\Rightarrow x=\pm \sqrt{3}\Rightarrow \text{ Dom}f=\mathbb{R}-\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\}$

En ninguno de los dos puntos se anula el numerador, ya que $x^2+x=x(x+1)$ solo se anula en $0$ y en $-1$. Los dos son, pues, asíntotas verticales:

${\displaystyle \underset{x\to {\sqrt{3}}^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x}{3-x^2}}={\displaystyle \frac{3+\sqrt{3}}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }\Rightarrow x=\sqrt{3}\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}}$

${\displaystyle \underset{x\to -{\sqrt{3}}^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x}{3-x^2}}={\displaystyle \frac{3-\sqrt{3}}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }\Rightarrow x=-\sqrt{3}\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota vertical}}$

Para la asíntota horizontal se comparan los grados del numerador y del denominador, que aquí coinciden: el límite es el cociente de los coeficientes principales.

${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{x^2+x}{3-x^2}}={\displaystyle \frac{1}{-1}}=-1\Rightarrow y=-1\text{es as}\acute{\text{ı}}\text{ntota horizontal}}$

Al existir asíntota horizontal en los dos infinitos, no puede haber asíntota oblicua ni ramas parabólicas: la función no tiende a infinito cuando $x$ se aleja, sino que se estabiliza en $-1$.



La función tiene dos asíntotas verticales, $x=\sqrt{3}$ y $x=-\sqrt{3}$, y una horizontal, $y=-1$; no tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas.



La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente la derivada en él. El punto $x=1$ pertenece al dominio, así que la tangente existe.

$f(1)={\displaystyle \frac{1+1}{3-1}}={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$

Derivamos por la regla del cociente:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(2x+1)(3-x^2)-(x^2+x)(-2x)}{{(3-x^2)}^2}}={\displaystyle \frac{6x-2x^3+3-x^2+2x^3+2x^2}{{(3-x^2)}^2}}={\displaystyle \frac{x^2+6x+3}{{(3-x^2)}^2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{1+6+3}{(3-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{10}{4}}={\displaystyle \frac{5}{2}}$

$y-1={\displaystyle \frac{5}{2}}(x-1)\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5}{2}}x-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=1$ es $y=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$.