Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\{\begin{array}{l}x+ay+z=0\\ x+y+a^{2}z=0\\ x+y+2az=0\end{array}$

a) Discuta según los valores de $a\in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1 punto]

b) Resuelva el sistema para $a=0$. [1 punto]

El sistema es homogéneo: todos los términos independientes son nulos. Eso obliga a que la matriz ampliada tenga siempre el mismo rango que la de coeficientes, de modo que el sistema nunca puede ser incompatible; la solución trivial $(0,0,0)$ siempre lo verifica. La discusión se reduce a comparar el rango de la matriz de coeficientes con el número de incógnitas.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 1& a^2\\ 1& 1& 2a\end{array}\right)$

Antes de desarrollar el determinante conviene restar la segunda fila a la tercera, operación que no lo altera y deja dos ceros:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& a& 1\\ 1& 1& a^2\\ 0& 0& 2a-a^2\end{array}\mid =(2a-a^2)\mid \begin{array}{cc}1& a\\ 1& 1\end{array}\mid =a(2-a)(1-a)$

$a(2-a)(1-a)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\\ a=2\end{array}$

$\text{Si }a\mathrm{\ne }0,1,2:\mathrm{ran}(A)=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial, $x=y=z=0$.

Para los tres valores que anulan el determinante se busca un menor de orden 2 no nulo:

$a=0:A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$a=1:A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 2\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

$a=2:A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 1& 1& 4\\ 1& 1& 4\end{array}\right),\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 1\end{array}\mid =-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En los tres casos el rango es 2, menor que el número de incógnitas, y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: además de la trivial tiene infinitas soluciones.



Para $a=0$ las ecuaciones segunda y tercera coinciden, así que el sistema equivale a

$\{\begin{array}{l}x+z=0\\ x+y=0\end{array}$

Se toma como parámetro la incógnita que no es principal y se despejan las otras dos:

$x=\lambda \Rightarrow z=-\lambda ;y=-\lambda$

$(x,y,z)=(\lambda ,-\lambda ,-\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en las tres ecuaciones de partida: $\lambda +0-\lambda =0$, $\lambda -\lambda +0=0$ y $\lambda -\lambda +0=0$.

El sistema es compatible indeterminado y sus infinitas soluciones son los puntos de la recta $(\lambda ,-\lambda ,-\lambda )$, con $\lambda$ recorriendo los números reales. Para $\lambda =0$ se recupera la solución trivial.