Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Aragón · 2022

El volumen de un tetraedro es de 10 unidades cúbicas. Si tres de sus vértices se encuentran en los puntos $A(1,1,1)$, $B(-2,1,0)$ y $C(0,1,3)$, halle las coordenadas del cuarto vértice $D$ sabiendo que se encuentra en el eje $Y$. Escriba todas las soluciones posibles. [2 puntos]

El cuarto vértice está en el eje $Y$, cuyos puntos tienen nulas las coordenadas primera y tercera, de modo que solo hay una incógnita: $D(0,d,0)$. El volumen del tetraedro es la sexta parte del valor absoluto del producto mixto de los tres vectores que parten de un mismo vértice, y al imponer que valga 10 sale una ecuación en $d$.











$\overrightarrow{AB}=(-2,1,0)-(1,1,1)=(-3,0,-1)$

$\overrightarrow{AC}=(0,1,3)-(1,1,1)=(-1,0,2)$

$\overrightarrow{AD}=(0,d,0)-(1,1,1)=(-1,d-1,-1)$





La segunda columna del determinante tiene dos ceros, así que se desarrolla por ella:

$[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=\mid \begin{array}{ccc}-3& 0& -1\\ -1& 0& 2\\ -1& d-1& -1\end{array}\mid =-(d-1)\mid \begin{array}{cc}-3& -1\\ -1& 2\end{array}\mid$

$=-(d-1)(-6-1)=7(d-1)$

$V={\displaystyle \frac{1}{6}}\mid 7(d-1)\mid =10\Rightarrow \mid d-1\mid ={\displaystyle \frac{60}{7}}$

El valor absoluto obliga a estudiar los dos signos posibles:

$\{\begin{array}{l}d-1={\displaystyle \frac{60}{7}}\Rightarrow d={\displaystyle \frac{67}{7}}\\ d-1=-{\displaystyle \frac{60}{7}}\Rightarrow d=-{\displaystyle \frac{53}{7}}\end{array}$

El resultado tiene una lectura geométrica sencilla: los tres vértices dados tienen la misma segunda coordenada, $y=1$, así que la base del tetraedro está contenida en el plano $y=1$ y su área vale

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid (0,7,0)\mid ={\displaystyle \frac{7}{2}}$

La altura desde $D$ es entonces la distancia de $D$ a ese plano, $\mathrm{\mid }d-1\mathrm{\mid }$, y hay dos posiciones simétricas respecto de él que dan el mismo volumen: una a cada lado.

Hay, por tanto, dos soluciones: $D(0,\frac{67}{7},0)$ y $D(0,-\frac{53}{7},0)$.