Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Aragón · 2025

Sean $u$ y $v$ dos vectores no nulos de ${\mathbb{R}}^3$ perpendiculares entre sí y $w=u\times v$ su producto vectorial. Se definen $a=(u\times v)+w$, $b=v\times (v\times w)$ y $c=u\cdot (v\times w)$. Indica si $a$, $b$ y $c$ son vectores o escalares (números). Para aquellos que sean vectores, justifica si son paralelos o perpendiculares a cada uno de los vectores $u$, $v$ y $w$. [2,5 puntos]

Los tres vectores del enunciado forman un triedro: $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares entre sí por hipótesis, y $\vec{w}=\vec{u}\times \vec{v}$ es perpendicular a los dos por ser su producto vectorial. Además, como $\vec{u}\perp \vec{v}$, el módulo de $\vec{w}$ vale











$\mid \vec{w}\mid =\mid \vec{u}\mid \mid \vec{v}\mid \mathrm{sen}{90}^{\circ }=\mid \vec{u}\mid \mid \vec{v}\mid \mathrm{\ne }0$

de modo que $\vec{w}$ no es el vector nulo y los tres son perpendiculares dos a dos. Sobre este triedro se responde a todo lo que se pide.





Conviene recordar antes las dos reglas que se van a usar: el producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos, y el producto escalar de dos vectores es un número.

Para $\vec{a}$, basta observar que el enunciado escribe dos veces el mismo producto vectorial:

$\vec{a}=(\vec{u}\times \vec{v})+\vec{w}=\vec{w}+\vec{w}=2\vec{w}$

$\vec{a}\text{ es un VECTOR, paralelo a }\vec{w}\text{ (es el doble) y perpendicular a }\vec{u}\text{ y a }\vec{v}$

Para $\vec{b}$ hay que calcular primero el paréntesis, $\vec{v}\times \vec{w}$. Es un vector perpendicular a $\vec{v}$ y a $\vec{w}$, y en el triedro la única dirección perpendicular a esos dos es la de $\vec{u}$:

$\vec{v}\times \vec{w}=\vec{v}\times (\vec{u}\times \vec{v})={\mid \vec{v}\mid }^2\vec{u}$

En efecto, su módulo es $\mid \vec{v}\mid \mid \vec{w}\mid ={\mid \vec{v}\mid }^2\mid \vec{u}\mid$ y su sentido es el de $\vec{u}$, por la regla de la mano derecha aplicada al triedro. Multiplicamos vectorialmente otra vez por $\vec{v}$:

$\vec{b}=\vec{v}\times (\vec{v}\times \vec{w})=\vec{v}\times \left({\mid \vec{v}\mid }^2\vec{u}\right)={\mid \vec{v}\mid }^2(\vec{v}\times \vec{u})=-{\mid \vec{v}\mid }^2(\vec{u}\times \vec{v})=-{\mid \vec{v}\mid }^2\vec{w}$

$\vec{b}\text{ es un VECTOR, paralelo a }\vec{w}\text{ (de sentido opuesto) y perpendicular a }\vec{u}\text{ y a }\vec{v}$

Para $c$, la operación de fuera es un producto escalar, y el producto escalar de dos vectores es un número:

$c=\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=\vec{u}\cdot \left({\mid \vec{v}\mid }^2\vec{u}\right)={\mid \vec{v}\mid }^2(\vec{u}\cdot \vec{u})={\mid \vec{v}\mid }^2{\mid \vec{u}\mid }^2$

$c\text{es un ESCALAR, y adem}\acute{\text{a}}\text{s positivo}$

Resumiendo: $\vec{a}$ y $\vec{b}$ son vectores, los dos paralelos a $\vec{w}$ —y por tanto perpendiculares a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$—, mientras que $c$ es un escalar, el producto mixto de los tres vectores, que vale ${\mid \vec{u}\mid }^2{\mid \vec{v}\mid }^2$ y no es nulo.