Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2025

Dados los puntos $A(1,0,2)$, $B(1,m,6)$, $C(2,1,4)$ y $D(4,3,2)$. Se pide:

a) Calcule $m$ para que los 4 puntos sean coplanarios. [1 punto]

b) Obtenga la ecuación general del plano $ACD$. [0,5 puntos]

c) Para $m=2$, calcule un vector perpendicular al plano $ABC$ de módulo 4 y calcule el área del triángulo $ABC$. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathit{m}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{coplanarios.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Cuatro puntos son coplanarios cuando el producto mixto de los tres vectores que salen de uno de ellos hacia los otros tres es nulo.

$\overrightarrow{AB}=(0,m,4)\overrightarrow{AC}=(1,1,2)\overrightarrow{AD}=(3,3,0)$

$\mid \begin{array}{ccc}0& m& 4\\ 1& 1& 2\\ 3& 3& 0\end{array}\mid =0(0-6)-m(0-6)+4(3-3)=6m$

$6m=0\Rightarrow m=0$

Los cuatro puntos son coplanarios únicamente para $m=0$.



El plano queda determinado por el punto $A$ y los vectores $\overrightarrow{AC}$ y $\overrightarrow{AD}$, cuyo producto vectorial es la normal.

$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AD}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 2\\ 3& 3& 0\end{array}\mid =(0-6)\vec{i}-(0-6)\vec{j}+(3-3)\vec{k}=(-6,6,0)$

Como solo importa la dirección, dividimos entre $-6$ y tomamos $(1,-1,0)$.

$1(x-1)-1(y-0)+0(z-2)=0\Rightarrow x-y-1=0$

Se comprueba con $C(2,1,4)$ y $D(4,3,2)$: $2-1-1=0$ y $4-3-1=0$.



Con $m=2$ el punto es $B(1,2,6)$ y el vector $\overrightarrow{AB}=(0,2,4)$. El producto vectorial de los dos lados que salen de $A$ es perpendicular al plano $ABC$ y su módulo es el área del paralelogramo.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 0& 2& 4\\ 1& 1& 2\end{array}\mid =(4-4)\vec{i}-(0-4)\vec{j}+(0-2)\vec{k}=(0,4,-2)$

$\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid =\sqrt{0+16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

Para obtener uno de módulo 4 lo normalizamos y multiplicamos por 4.

$\vec{w}=\pm 4\cdot {\displaystyle \frac{(0,4,-2)}{2\sqrt{5}}}=\pm {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}}(0,4,-2)=\pm (0,{\displaystyle \frac{8\sqrt{5}}{5}},-{\displaystyle \frac{4\sqrt{5}}{5}})$

El área del triángulo es la mitad de la del paralelogramo.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mid \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}\mid ={\displaystyle \frac{2\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{5}$



Hay dos vectores perpendiculares de módulo 4, opuestos entre sí, y el área del triángulo $ABC$ es de $\sqrt{5}\approx \mathrm{2,24}$ unidades de superficie.