Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · 2025

Dados los puntos $A=(1,2,3)$, $B=(2,3,4)$, $C=(3,4,3)$

a) ¿Están $A$, $B$ y $C$ alineados? [0,75 puntos]

b) Halle un vector que sea ortogonal a $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$. [1 punto]

c) Halle el punto simétrico del punto $A$ respecto del punto $B$. [0,75 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{alineados?}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tres puntos están alineados cuando los vectores que los unen son proporcionales, es decir, cuando tienen la misma dirección.

$\overrightarrow{AB}=(1,1,1)\overrightarrow{AC}=(2,2,0)$

${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{1}{0}}$

Las coordenadas no son proporcionales —la tercera lo impide—, así que los vectores son linealmente independientes.

Los tres puntos no están alineados: determinan un triángulo y, con él, un plano.



Un vector ortogonal a los dos es su producto vectorial; después basta ajustar el módulo.

$\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=\mid \begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 0\end{array}\mid =(0-2)\vec{i}-(0-2)\vec{j}+(2-2)\vec{k}=(-2,2,0)$

$\mathrm{\mid }(-2,2,0)\mathrm{\mid }=\sqrt{4+4+0}=2\sqrt{2}$

$\vec{w}=\pm \sqrt{2}\cdot {\displaystyle \frac{(-2,2,0)}{2\sqrt{2}}}=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}}(-2,2,0)=\pm (-1,1,0)$

Se comprueba el módulo: $\mathrm{\mid }(-1,1,0)\mathrm{\mid }=\sqrt{2}$, y también la ortogonalidad: $(-1,1,0)\cdot (1,1,1)=0$ y $(-1,1,0)\cdot (2,2,0)=0$.

Los vectores pedidos son $(-1,1,0)$ y su opuesto $(1,-1,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{sim}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{trico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{A}\mathbf{\text{respecto}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{punto}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El simétrico respecto de un punto es aquel para el cual ese punto es el punto medio del segmento.

$B={\displaystyle \frac{A+A^{\mathrm{\prime }}}{2}}\Rightarrow A^{\mathrm{\prime }}=2B-A$

$A^{\mathrm{\prime }}=(2\cdot 2-1,2\cdot 3-2,2\cdot 4-3)=(3,4,5)$

Se comprueba que el punto medio de $A(1,2,3)$ y $A^{\mathrm{\prime }}(3,4,5)$ es $(2,3,4)=B$.

El simétrico de $A$ respecto de $B$ es el punto $A^{\mathrm{\prime }}(3,4,5)$.