Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un departamento de calidad se analiza el funcionamiento del software del motor de vehículos eléctricos e híbridos. Se revisaron 85 coches eléctricos y 145 coches híbridos. En total, 43 coches tenían errores en el software de sus motores. Además, de los motores con software defectuoso, 12 correspondían a coches eléctricos.

a) Calcule la probabilidad de que un coche revisado seleccionado al azar sea híbrido y presente el software de su motor correcto. [0,8 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que un coche híbrido seleccionado al azar tenga defectuoso el software del motor. [1,2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coche}}\mathbf{\text{revisado}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{h}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{brido}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{presente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{software}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{motor}}\mathbf{\text{correcto.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Conviene ordenar los datos en una tabla de doble entrada; las casillas que no da el enunciado se obtienen por diferencia. En total se revisaron $85+145=230$ coches, de los cuales 43 tenían errores, y de estos 12 eran eléctricos, luego $43-12=31$ eran híbridos.

$$	$\text{Software defectuoso}$	$\text{Software correcto}$	$\text{Total}$ $\text{El}\acute{\text{e}}\text{ctricos}$	12	73	85 $\text{H}\acute{\text{ı}}\text{bridos}$	31	114	145 $\text{Total}$	43	187	230

Nombramos los sucesos:

$H\equiv$ el coche es híbrido, $D\equiv$ el software del motor es defectuoso

Se pide la probabilidad de la intersección, que se calcula sobre el total de coches revisados como el cociente entre los casos favorables y los posibles.

$P(H\cap \bar{D})={\displaystyle \frac{145-31}{230}}={\displaystyle \frac{114}{230}}={\displaystyle \frac{57}{115}}\approx \mathrm{0,4957}$

La probabilidad de que un coche revisado elegido al azar sea híbrido y tenga el software correcto es $\frac{57}{115}\approx \mathrm{0,4957}$, casi la mitad.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{coche}}\mathbf{\text{h}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{brido}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{defectuoso}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{software}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{motor.}}\mathbf{\text{[1,2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Ahora se sabe de antemano que el coche es híbrido, así que el espacio muestral se reduce a los 145 coches híbridos: es una probabilidad condicionada.

$P(D\mathrm{\mid }H)={\displaystyle \frac{P(D\cap H)}{P(H)}}={\displaystyle \frac{\frac{31}{230}}{\frac{145}{230}}}={\displaystyle \frac{31}{145}}\approx \mathrm{0,2138}$

La probabilidad de que un coche híbrido elegido al azar tenga defectuoso el software del motor es $\frac{31}{145}\approx \mathrm{0,2138}$, es decir, un $\mathrm{21,38}\mathrm{\%}$.