Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

En un hospital se realizan dos técnicas diferentes de intervención para una misma lesión. Se muestra en la siguiente tabla el número de intervenciones realizadas en los últimos años clasificadas por tipo de técnica y gravedad de la lesión antes de la intervención:

Nº intervenciones	Técnica 1	Técnica 2 Graves	44	140 Leves	136	40

En la tabla siguiente se muestra el número de intervenciones que fueron efectivas ante la lesión:

Nº intervenciones efectivas	Técnica 1	Técnica 2 Graves	30	102 Leves	120	36

a) Se elige al azar el expediente de una intervención realizada en el hospital para esta lesión. Sabiendo que la intervención ha sido efectiva, ¿cuál de las dos técnicas es más probable que se haya usado? [0,5 puntos]

b) Con los datos anteriores, un cirujano del hospital quiere elegir la técnica que le proporcione mayor probabilidad de éxito. ¿Qué técnica elegirá para una lesión leve?, ¿y para una lesión grave? [1 punto]

c) El protocolo del hospital cuando se desconoce la gravedad de la lesión es aplicar la técnica 1. Justifica por qué este protocolo no es el más adecuado. [0,5 puntos]

Empezamos por completar los totales de las dos tablas, que son los que van a hacer falta en los tres apartados. En total se han realizado 360 intervenciones, 180 con cada técnica, de las que 288 resultaron efectivas.

Intervenciones	Técnica 1	Técnica 2	Total Graves	44	140	184 Leves	136	40	176 Total	180	180	360

Efectivas	Técnica 1	Técnica 2	Total Graves	30	102	132 Leves	120	36	156 Total	150	138	288

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{expediente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{intervenci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{realizada}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{hospital}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{lesi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{intervenci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{efectiva,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnicas}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{usado?}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Nombramos los sucesos $T_1$ y $T_2$, «se ha usado la técnica 1» y «se ha usado la técnica 2», y $E$, «la intervención ha sido efectiva». Se pide comparar dos probabilidades condicionadas que tienen el mismo denominador, así que basta comparar los casos favorables: de las 288 intervenciones efectivas, 150 fueron con la técnica 1 y 138 con la técnica 2.

$P(T_1\mathrm{\mid }E)={\displaystyle \frac{150}{288}}=\mathrm{0,5208}$

$P(T_2\mathrm{\mid }E)={\displaystyle \frac{138}{288}}=\mathrm{0,4792}$

Sabiendo que la intervención fue efectiva, es más probable que se haya usado la técnica 1.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cirujano}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{hospital}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{elegir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnica}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{proporcione}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{xito.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnica}}\mathbf{\text{elegir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lesi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{leve?,}}\mathbf{\text{¿y}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lesi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{grave?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora la gravedad de la lesión es un dato conocido, de modo que hay que comparar la proporción de éxitos dentro de cada grupo, no sobre el total. Dividimos en cada casilla las intervenciones efectivas entre las realizadas.

Probabilidad de éxito	Técnica 1	Técnica 2 Lesión leve	$\frac{120}{136}=\mathrm{0,8824}$	$\frac{36}{40}=\mathrm{0,9000}$ Lesión grave	$\frac{30}{44}=\mathrm{0,6818}$	$\frac{102}{140}=\mathrm{0,7286}$

$P(E\mathrm{\mid }L\cap T_1)=\mathrm{0,8824}<\mathrm{0,9000}=P(E\mathrm{\mid }L\cap T_2)$

$P(E\mathrm{\mid }G\cap T_1)=\mathrm{0,6818}<\mathrm{0,7286}=P(E\mathrm{\mid }G\cap T_2)$

El cirujano elegirá la técnica 2 en los dos casos: es la más eficaz tanto para una lesión leve como para una lesión grave.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{protocolo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{hospital}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desconoce}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{lesi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{aplicar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cnica}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{protocolo}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{adecuado.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Comparamos por último la eficacia global de cada técnica, sin distinguir la gravedad.

$P(E\mathrm{\mid }{T}_1)={\displaystyle \frac{150}{180}}=\mathrm{0,8333}$

$P(E\mathrm{\mid }{T}_2)={\displaystyle \frac{138}{180}}=\mathrm{0,7667}$

Mirando solo estos dos números la técnica 1 parece la mejor, y es en eso en lo que se apoya el protocolo. Pero el apartado anterior dice justo lo contrario: la técnica 2 es más eficaz en los dos tipos de lesión. La explicación está en el reparto de los casos, que no es el mismo para las dos técnicas: la técnica 1 se ha aplicado sobre todo a lesiones leves (136 de sus 180 intervenciones), que son las que salen bien con más facilidad, mientras que la técnica 2 ha cargado con las graves (140 de 180).

El promedio global de la técnica 1 es alto porque le han tocado los casos fáciles, no porque sea mejor. Si la técnica 2 supera a la técnica 1 tanto en las lesiones leves como en las graves, entonces la supera sea cual sea la gravedad de la lesión que se presente, y el protocolo debería aplicar la técnica 2.