Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2026

Tenemos dos urnas, $A$ y $B$, con bolas rojas y azules. En la urna $A$ hay dos bolas rojas y tres bolas azules. En la urna $B$ hay dos bolas azules y tres bolas rojas.

a) Si sacamos al azar una bola de cada urna, ¿qué es más probable, que salgan dos bolas del mismo color o de color diferente? [1 punto]

b) Las bolas extraídas en a) las introducimos en la urna contraria, es decir, la sacada de la urna $A$ la metemos en la urna $B$ y viceversa. Si sacamos ahora una bola al azar de la urna $B$, ¿cuál es la probabilidad de que sea azul? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sacamos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{urna,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{salgan}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{color}}\mathbf{\text{diferente?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Las dos urnas tienen cinco bolas cada una y las extracciones son independientes, porque se saca una bola de cada urna.

$P(R_A)={\displaystyle \frac{2}{5}},P(A{z}_A)={\displaystyle \frac{3}{5}},P(R_B)={\displaystyle \frac{3}{5}},P(A{z}_B)={\displaystyle \frac{2}{5}}$

El árbol del experimento es:



Que las dos bolas sean del mismo color ocurre por dos caminos incompatibles del árbol, que se suman:

$P(\text{mismo color})=P(R_A)\cdot P(R_B)+P(A{z}_A)\cdot P(A{z}_B)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{12}{25}}=\mathrm{0,48}$

El suceso contrario es que sean de distinto color:

$P(\text{distinto color})=1-{\displaystyle \frac{12}{25}}={\displaystyle \frac{13}{25}}=\mathrm{0,52}$

Es más probable que las dos bolas salgan de distinto color, con probabilidad $\frac{13}{25}=\mathrm{0,52}$ frente a $\frac{12}{25}=\mathrm{0,48}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Las}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{introducimos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{contraria,}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{decir,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sacada}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathit{A}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{metemos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{viceversa.}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sacamos}}\mathbf{\text{ahora}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathit{B}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{azul?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La urna $B$ pierde la bola que se sacó de ella y gana la que venía de la urna $A$, así que sigue teniendo cinco bolas, pero su composición depende de los dos colores extraídos. Recorremos las cuatro ramas del árbol anterior y anotamos cómo queda la urna $B$ en cada caso.

Bola de A	Bola de B	Urna B después	$P(Az)$ Roja	Roja	3 rojas y 2 azules	$\frac{2}{5}$ Roja	Azul	4 rojas y 1 azul	$\frac{1}{5}$ Azul	Roja	2 rojas y 3 azules	$\frac{3}{5}$ Azul	Azul	3 rojas y 2 azules	$\frac{2}{5}$

Las cuatro ramas forman un sistema completo de sucesos, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total:

$P(Az)=P(R_A{R}_B){\displaystyle \frac{2}{5}}+P(R_{A}A{z}_B){\displaystyle \frac{1}{5}}+P(A{z}_A{R}_B){\displaystyle \frac{3}{5}}+P(A{z}_{A}A{z}_B){\displaystyle \frac{2}{5}}$

$P(Az)={\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}+{\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}\cdot {\displaystyle \frac{2}{5}}$

$P(Az)={\displaystyle \frac{12+4+27+12}{125}}={\displaystyle \frac{55}{125}}={\displaystyle \frac{11}{25}}=\mathrm{0,44}$

La probabilidad de que la bola extraída de la urna $B$ tras el intercambio sea azul es $\frac{11}{25}=\mathrm{0,44}$.