Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\{\begin{array}{l}3x-y+2z=1\\ x+4y+z=3\\ 2x-5y+az=-2\end{array}$

a) Discuta según los valores de $a\in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones. [1 punto]

b) Resuelva el sistema para $a=0$. [1 punto]

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& 4& 1\\ 2& -5& a\end{array}\right);A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}3& -1& 2& 1\\ 1& 4& 1& 3\\ 2& -5& a& -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}3& -1& 2\\ 1& 4& 1\\ 2& -5& a\end{array}\mid =12a-2-10-16-(-15)-(-a)=13a-13$

$13a-13=0\Rightarrow a=1$

$\text{Si }a\mathrm{\ne }1:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

En ese caso el sistema es compatible determinado.

Para $a=1$ el determinante se anula, pero queda un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}3& -1\\ 1& 4\end{array}\mid =13\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

En la matriz ampliada se observa que la tercera fila es la diferencia de las dos primeras, término independiente incluido:

$F_1-F_2=(3-1,-1-4,2-1\mathrm{\mid }1-3)=(2,-5,1\mathrm{\mid }-2)=F_3$

La tercera ecuación no aporta información nueva, de modo que $\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$.

$a=1:\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

En ese caso el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. No es incompatible para ningún valor del parámetro.



Para $a=0$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-13\mathrm{\ne }0$, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}3x-y+2z=1\\ x+4y+z=3\\ 2x-5y=-2\end{array}$

Restamos a la primera ecuación el doble de la segunda para eliminar $z$:

$(3x-y+2z)-2(x+4y+z)=1-6\Rightarrow x-9y=-5\Rightarrow x=9y-5$

Sustituyendo en la tercera ecuación:

$2(9y-5)-5y=-2\Rightarrow 18y-10-5y=-2\Rightarrow 13y=8\Rightarrow y={\displaystyle \frac{8}{13}}$

$x=9\cdot {\displaystyle \frac{8}{13}}-5={\displaystyle \frac{72-65}{13}}={\displaystyle \frac{7}{13}}$

De la segunda ecuación se despeja la incógnita que falta:

$z=3-x-4y=3-{\displaystyle \frac{7}{13}}-{\displaystyle \frac{32}{13}}={\displaystyle \frac{39-39}{13}}=0$

Comprobamos en la primera ecuación: $\frac{21}{13}-\frac{8}{13}+0=\frac{13}{13}=1$.

La solución única del sistema para $a=0$ es $(x,y,z)=(\frac{7}{13},\frac{8}{13},0)$.