Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\{\begin{array}{l}x+y+(m+1)z=2\\ x+(m-1)y+2z=1\\ 2x+my+z=-1\end{array}$

Discuta el sistema según los valores de $m\in \mathbb{R}$. [2 puntos]

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius: se comparan el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada entre sí y con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& m+1\\ 1& m-1& 2\\ 2& m& 1\end{array}\right);A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& m+1& 2\\ 1& m-1& 2& 1\\ 2& m& 1& -1\end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la primera fila.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}m-1& 2\\ m& 1\end{array}\mid -1\mid \begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\mid +(m+1)\mid \begin{array}{cc}1& m-1\\ 2& m\end{array}\mid$

$=(m-1-2m)-(1-4)+(m+1)(m-2m+2)=(-m-1)+3+(m+1)(2-m)$

$=-m+2+2m-m^2+2-m=4-m^2$

$4-m^2=0\Rightarrow m=\pm 2$

$\text{Si }m\mathrm{\ne }2\text{ y }m\mathrm{\ne }-2:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Estudiamos ahora los dos valores que anulan el determinante.

$m=2:A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 3& 2\\ 1& 1& 2& 1\\ 2& 2& 1& -1\end{array}\right)$

Las dos primeras columnas de $A$ son iguales, así que el rango no llega a 3; el menor formado por la primera y la tercera columnas de las dos primeras filas no es nulo:

$\mid \begin{array}{cc}1& 3\\ 1& 2\end{array}\mid =2-3=-1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& -1\end{array}\mid =-2+6+2-8-1+3=0$

El orlado con la tercera columna de $A$ es el propio $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }$, que también es nulo, y el orlado con la segunda columna coincide con este último por ser iguales las columnas primera y segunda. Por tanto $\mathrm{ran}(A^{\ast })=2$:

$m=2:\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3\Rightarrow \text{ sistema compatible indeterminado}$

$m=-2:A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 2\\ 1& -3& 2& 1\\ 2& -2& 1& -1\end{array}\right)$

$\mid \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -3\end{array}\mid =-4\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlando con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -3& 1\\ 2& -2& -1\end{array}\mid =3+2-4+12+2+1=16\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$m=-2:\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{ sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado si $m\mathrm{\ne }\pm 2$, compatible indeterminado si $m=2$ e incompatible si $m=-2$.