Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}2x+3y+z=-1\\ x-y+z=a\\ -x+y-2z=-3\end{array}$ dado en función del parámetro $a\in \mathbb{R}$.

a) Determine para qué valores de $a$ el sistema es compatible. [1,25 puntos]

b) Dado $a=4$, resuelva el sistema anterior si es posible. [1,25 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{a}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{compatible.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Discutimos el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada. Empezamos por el determinante de la primera, que es quien manda.

$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& -2\end{array}\right),A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}2& 3& 1& -1\\ 1& -1& 1& a\\ -1& 1& -2& -3\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 1& -1& 1\\ -1& 1& -2\end{array}\mid =4-3+1-1-2+6=5$

El determinante vale $5$ y, sobre todo, no depende del parámetro: no hay ningún valor de $a$ que lo anule.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=5\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=3$

Como $A^{\ast }$ contiene a $A$ y solo tiene tres filas, su rango tampoco puede pasar de $3$:

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado para cualquier valor real de $a$; no hay ningún caso que excluir, y además la solución es siempre única.



Por el apartado anterior sabemos que sí es posible. Resolvemos por la regla de Cramer, sustituyendo en cada paso la columna correspondiente por la de términos independientes.

$\{\begin{array}{l}2x+3y+z=-1\\ x-y+z=4\\ -x+y-2z=-3\end{array},\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=5$

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ 4& -1& 1\\ -3& 1& -2\end{array}\mid }{5}}={\displaystyle \frac{15}{5}}=3$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 1& 4& 1\\ -1& -3& -2\end{array}\mid }{5}}={\displaystyle \frac{-10}{5}}=-2$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}2& 3& -1\\ 1& -1& 4\\ -1& 1& -3\end{array}\mid }{5}}={\displaystyle \frac{-5}{5}}=-1$

Comprobamos la terna en la segunda ecuación, que es la que lleva el parámetro:

$3-(-2)+(-1)=3+2-1=4$

La solución del sistema para $a=4$ es $(x,y,z)=(3,-2,-1)$.