Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}\lambda x-y=1\\ 4x-\lambda y=2\lambda -2\end{array}$ dependiente del parámetro $\lambda$.

a) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

b) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema tiene solución única y resuélvalo en ese caso, expresando la solución en función del parámetro $\lambda$ si es necesario. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $\lambda$ el sistema no tiene solución. [0,5 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$M=\left(\begin{array}{cc}\lambda & -1\\ 4& -\lambda \end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & -1& 1\\ 4& -\lambda & 2\lambda -2\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=-{\lambda }^2+4=-(\lambda -2)(\lambda +2)$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \lambda =\pm 2$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Solo puede ocurrir si el determinante se anula, así que estudiamos los dos valores. Con $\lambda =2$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 1\\ 4& -2& 2\end{array}\right)$

La segunda fila es el doble de la primera, también en la columna de términos independientes, de modo que sobra una ecuación:

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=1<2=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado. Nos quedamos con la primera ecuación y tomamos $x=\mu$ como parámetro:

$2x-y=1\Rightarrow y=2x-1$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $\lambda =2$, y son

$(x,y)=(\mu ,2\mu -1),\mu \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso,}}\mathbf{\text{expresando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{necesario.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }\pm 2$ entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos por la regla de Cramer.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}1& -1\\ 2\lambda -2& -\lambda \end{array}\mid }{4-{\lambda }^2}}={\displaystyle \frac{-\lambda +2\lambda -2}{4-{\lambda }^2}}={\displaystyle \frac{\lambda -2}{-(\lambda -2)(\lambda +2)}}={\displaystyle \frac{-1}{\lambda +2}}$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 4& 2\lambda -2\end{array}\mid }{4-{\lambda }^2}}={\displaystyle \frac{2{\lambda }^2-2\lambda -4}{4-{\lambda }^2}}={\displaystyle \frac{2(\lambda -2)(\lambda +1)}{-(\lambda -2)(\lambda +2)}}={\displaystyle \frac{-2(\lambda +1)}{\lambda +2}}$

El sistema tiene solución única para todo $\lambda \mathrm{\ne }\pm 2$, y esa solución es

$(x,y)=({\displaystyle \frac{-1}{\lambda +2}},{\displaystyle \frac{-2\lambda -2}{\lambda +2}})$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\lambda }\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Queda por estudiar $\lambda =-2$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 1\\ 4& 2& -6\end{array}\right)$

Ahora la segunda fila de $M$ sigue siendo proporcional a la primera —con razón $-2$—, pero el término independiente no la sigue, porque $-2\cdot 1=-2\mathrm{\ne }-6$. Por tanto

$\mathrm{ran}(M)=1\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(M^{\ast })$

El sistema no tiene solución exactamente para $\lambda =-2$.