Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $t$: $\{\begin{array}{l}tx+y+z=4\\ x-ty+z=1\\ x+y+z=t+2\end{array}$

a) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene solución única. [0,75 puntos]

b) Determine para qué valores de $t$ el sistema tiene infinitas soluciones y resuélvalo en ese caso. [1 punto]

c) Determine para qué valores de $t$ el sistema no tiene solución. [0,75 puntos]

Los tres apartados salen de la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes y localizando los valores del parámetro que lo anulan.

$M=\left(\begin{array}{ccc}t& 1& 1\\ 1& -t& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}t& 1& 1& 4\\ 1& -t& 1& 1\\ 1& 1& 1& t+2\end{array}\right)$

Desarrollando por la primera fila:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=t(-t-1)-1(1-1)+1(1+t)=-t^2-t+1+t=1-t^2$

$1-t^2=0\Rightarrow t=\pm 1$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{t}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nica.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Si $t\mathrm{\ne }\pm 1$ el determinante no se anula y, por el teorema de Rouché-Frobenius,

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema tiene solución única para todo $t\in \mathbb{R}$ con $t\mathrm{\ne }1$ y $t\mathrm{\ne }-1$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{t}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{infinitas}}\mathbf{\text{soluciones}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{resu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lvalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Solo puede ocurrir en los dos valores que anulan el determinante. Con $t=-1$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 4\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right)$

Las dos últimas filas son idénticas, y el menor

$\mid \begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& 1\end{array}\mid =-1-1=-2\mathrm{\ne }0$

deja exactamente dos filas independientes tanto en $M$ como en $M^{\ast }$:

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=2<3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad. Restando la primera ecuación de la segunda se despeja $x$ directamente:

$(x+y+z)-(-x+y+z)=1-4\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

y tomando $z=\lambda$ como parámetro:

$y+z=1-x={\displaystyle \frac{5}{2}}\Rightarrow y={\displaystyle \frac{5}{2}}-\lambda$

El sistema tiene infinitas soluciones solo para $t=-1$, y son

$(x,y,z)=(-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{5}{2}}-\lambda ,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{t}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{soluci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Queda por estudiar $t=1$:

$M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 4\\ 1& -1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 3\end{array}\right)$

La primera y la tercera ecuación tienen el mismo primer miembro y distinto término independiente, $4$ y $3$, de modo que ningún punto puede cumplir las dos. Formalmente, $\mathrm{ran}(M)=2$ y

$\mid \begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 1& -1& 1\\ 1& 1& 3\end{array}\mid =-3+1+4+4-1-3=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

El sistema no tiene solución exactamente para $t=1$.