Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}a-3& 0& 4\\ 1& 0& -2\\ -1& a& 2\end{array}\right)$ y $b=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ a\end{array}\right)$, siendo $a$ un número real cualquiera:

a) Discuta el sistema $AX=b$ según los valores del parámetro $a$. [1,25 puntos]

b) Resuelva el sistema cuando $a=1$. [0,75 puntos]

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada entre sí y con el número de incógnitas, que es 3.

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}a-3& 0& 4& 2\\ 1& 0& -2& -1\\ -1& a& 2& a\end{array}\right)$

La segunda columna tiene dos ceros, así que el determinante se desarrolla por ella con un solo sumando:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-a\mid \begin{array}{cc}a-3& 4\\ 1& -2\end{array}\mid =-a[-2(a-3)-4]=-a(-2a+2)=2a^2-2a=2a(a-1)$

$2a(a-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=0\\ a=1\end{array}$

$\text{Si }a\mathrm{\ne }0\text{ y }a\mathrm{\ne }1:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado.

$a=0:A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-3& 0& 4& 2\\ 1& 0& -2& -1\\ -1& 0& 2& 0\end{array}\right)$

La segunda columna es entera de ceros, de modo que el rango de $A$ no llega a 3; el menor de las dos primeras filas con las columnas primera y tercera sí es no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}-3& 4\\ 1& -2\end{array}\mid =6-4=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}-3& 4& 2\\ 1& -2& -1\\ -1& 2& 0\end{array}\mid =0+4+4-4+0-6=-2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A^{\ast })=3$

$a=0:\mathrm{ran}(A)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(A^{\ast })\Rightarrow \text{ sistema incompatible}$

$a=1:A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-2& 0& 4& 2\\ 1& 0& -2& -1\\ -1& 1& 2& 1\end{array}\right)$

Aquí la primera fila es $-2$ veces la segunda, término independiente incluido, así que no aporta nada. Con las otras dos:

$\mid \begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\mid =1\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=2<3$

$a=1:\text{sistema compatible indeterminado}$

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }0$ y $a\mathrm{\ne }1$, incompatible si $a=0$ y compatible indeterminado si $a=1$.



Por el apartado anterior el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad, y la primera ecuación es proporcional a la segunda, de modo que se puede descartar.

$\{\begin{array}{l}x-2z=-1\\ -x+y+2z=1\end{array}$

Tomamos como parámetro la incógnita que no es principal, $z=\lambda$, y despejamos las otras dos:

$x=2\lambda -1$

$y=1+x-2z=1+(2\lambda -1)-2\lambda =0$

$(x,y,z)=(2\lambda -1,0,\lambda ),\lambda \in \mathbb{R}$

Comprobamos en la primera ecuación, que es la que se ha descartado:

$-2(2\lambda -1)+4\lambda =-4\lambda +2+4\lambda =2$

El sistema tiene infinitas soluciones, que son los puntos de la recta $(2\lambda -1,0,\lambda )$, con $\lambda$ recorriendo los números reales.