Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Considere el sistema de ecuaciones $\{\begin{array}{l}x-3y+2z=-1\\ -2x+4z=-6\\ x-2y+\lambda z=0\end{array}$ en función del parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$.

a) Razone si el sistema puede ser incompatible. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]

b) Razone si el sistema puede ser compatible determinado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]

c) Razone si el sistema puede ser compatible indeterminado. En caso afirmativo, determine cuándo lo es. [0,75 puntos]

d) Razone si el sistema tiene solución única para $\lambda =1$. En caso afirmativo, calcule dicha solución. [0,25 puntos]

Los cuatro apartados se responden con la misma discusión, así que empezamos calculando el determinante de la matriz de coeficientes y comparando después los rangos según el teorema de Rouché-Frobenius.

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& -3& 2\\ -2& 0& 4\\ 1& -2& \lambda \end{array}\right),M^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}1& -3& 2& -1\\ -2& 0& 4& -6\\ 1& -2& \lambda & 0\end{array}\right)$

Desarrollando el determinante por la primera fila:

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=1\mid \begin{array}{cc}0& 4\\ -2& \lambda \end{array}\mid +3\mid \begin{array}{cc}-2& 4\\ 1& \lambda \end{array}\mid +2\mid \begin{array}{cc}-2& 0\\ 1& -2\end{array}\mid =8+3(-2\lambda -4)+2\cdot 4$

$\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=8-6\lambda -12+8=4-6\lambda$

$4-6\lambda =0\Rightarrow \lambda ={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{incompatible.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{es.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El único candidato es $\lambda =\frac{2}{3}$, porque en los demás casos el determinante no se anula. Estudiamos los rangos para ese valor.

$\mid \begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 0\end{array}\mid =0-6=-6\mathrm{\ne }0\text{ y }\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=0\Rightarrow \mathrm{ran}(M)=2$

Orlamos ese menor con la columna de términos independientes:

$\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -1\\ -2& 0& -6\\ 1& -2& 0\end{array}\mid =0+18-4-0-12-0=2\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(M^{\ast })=3$

Sí puede serlo: como $\mathrm{ran}(M)=2\mathrm{\ne }3=\mathrm{ran}(M^{\ast })$, el sistema es incompatible exactamente para $\lambda ={\displaystyle \frac{2}{3}}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{determinado.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{es.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Si $\lambda \mathrm{\ne }\frac{2}{3}$ entonces $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0$ y

$\mathrm{ran}(M)=\mathrm{ran}(M^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

Sí puede serlo: el sistema es compatible determinado para todo $\lambda \mathrm{\ne }{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{compatible}}\mathbf{\text{indeterminado.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndo}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{es.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los dos apartados anteriores agotan los valores del parámetro: para $\lambda \mathrm{\ne }\frac{2}{3}$ el sistema es compatible determinado y para $\lambda =\frac{2}{3}$ es incompatible.

No puede serlo: no existe ningún valor de $\lambda$ para el que el sistema sea compatible indeterminado.



Como $1\mathrm{\ne }\frac{2}{3}$, estamos en el caso del apartado b) y el sistema tiene solución única. Lo resolvemos por la regla de Cramer con $\mathrm{\mid }M\mathrm{\mid }=4-6=-2$.

$x={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}-1& -3& 2\\ -6& 0& 4\\ 0& -2& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{-2}{-2}}=1$

$y={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& -1& 2\\ -2& -6& 4\\ 1& 0& 1\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{0}{-2}}=0$

$z={\displaystyle \frac{\mid \begin{array}{ccc}1& -3& -1\\ -2& 0& -6\\ 1& -2& 0\end{array}\mid }{-2}}={\displaystyle \frac{2}{-2}}=-1$

Sí tiene solución única, y es $(x,y,z)=(1,0,-1)$.