Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una farmacia vende 3 tipos de mascarillas: quirúrgicas desechables, higiénicas y quirúrgicas reutilizables. El precio medio de las 3 mascarillas es de 0,90 €. Un cliente compra 30 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables, 20 mascarillas higiénicas y 10 quirúrgicas reutilizables, debiendo abonar por todas ellas 56 €. Otro cliente compra 20 unidades de mascarillas quirúrgicas desechables y 25 unidades de mascarillas reutilizables y paga 31 €.

Calcule el precio de cada tipo de mascarilla. [2 puntos]

Se llaman $x$, $y$ y $z$ a los precios, en euros, de una mascarilla quirúrgica desechable, de una higiénica y de una quirúrgica reutilizable, respectivamente. Cada una de las tres informaciones del enunciado se traduce en una ecuación lineal.

Que el precio medio de los tres tipos sea $\mathrm{0,90}$ € significa que su suma dividida entre 3 vale eso:

${\displaystyle \frac{x+y+z}{3}}=\mathrm{0,90}\Rightarrow x+y+z=\mathrm{2,70}$

La compra del primer cliente:

$30x+20y+10z=56$

La del segundo, que no lleva mascarillas higiénicas:

$20x+25z=31$

Resolvemos por sustitución. De la primera ecuación, $y=\mathrm{2,70}-x-z$, que llevado a la segunda deja una relación entre $x$ y $z$:

$30x+20(\mathrm{2,70}-x-z)+10z=56\Rightarrow 30x+54-20x-20z+10z=56$

$10x-10z=2\Rightarrow x-z=\mathrm{0,2}\Rightarrow x=z+\mathrm{0,2}$

Sustituyendo en la tercera ecuación:

$20(z+\mathrm{0,2})+25z=31\Rightarrow 20z+4+25z=31\Rightarrow 45z=27\Rightarrow z=\mathrm{0,6}$

$x=\mathrm{0,6}+\mathrm{0,2}=\mathrm{0,8};y=\mathrm{2,70}-\mathrm{0,8}-\mathrm{0,6}=\mathrm{1,3}$

Comprobamos las dos compras:

$30\cdot \mathrm{0,8}+20\cdot \mathrm{1,3}+10\cdot \mathrm{0,6}=24+26+6=56;20\cdot \mathrm{0,8}+25\cdot \mathrm{0,6}=16+15=31$

La mascarilla quirúrgica desechable cuesta $\mathrm{0,80}$ €, la higiénica $\mathrm{1,30}$ € y la quirúrgica reutilizable $\mathrm{0,60}$ €.