Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dentro de un grupo de estudiantes que realiza un examen hay tres a los que les sale mejor de lo que esperaban. Estos son Antonio, María y Paula. Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la nota de María. El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula y Paula saca dos puntos más que Antonio. Razone si el enunciado expuesto es posible. En caso afirmativo, calcule la nota de cada estudiante. [2,5 puntos]

$\mathbf{\text{Razone}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{enunciado}}\mathbf{\text{expuesto}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{posible.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{afirmativo,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{estudiante.}}\mathbf{\text{[2,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $x$ a la nota de Antonio, $y$ a la de María y $z$ a la de Paula, y traducimos a ecuaciones las tres afirmaciones del enunciado.

i) Antonio obtiene la mitad de la nota de Paula más un tercio de la de María:

$x={\displaystyle \frac{z}{2}}+{\displaystyle \frac{y}{3}}$

ii) El doble de la nota de María es igual a la de Antonio más la de Paula:

$2y=x+z$

iii) Paula saca dos puntos más que Antonio:

$z=x+2$

Ordenando las incógnitas, el sistema es

$\{\begin{array}{l}x-{\displaystyle \frac{y}{3}}-{\displaystyle \frac{z}{2}}=0\\ x-2y+z=0\\ x\phantom{-2y}-z=-2\end{array}$

Que el enunciado sea posible equivale a que este sistema tenga solución, así que lo discutimos por el teorema de Rouché-Frobenius calculando el determinante de la matriz de coeficientes.

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=\mid \begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{3}& -\frac{1}{2}\\ 1& -2& 1\\ 1& 0& -1\end{array}\mid =2+0-{\displaystyle \frac{1}{3}}-1-0-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{\ne }0$

$\mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

El sistema es compatible determinado: tiene una única solución y, por tanto, el enunciado es posible. Lo resolvemos por sustitución, que aquí es más corto que Cramer.

$2y=x+z=x+(x+2)=2x+2\Rightarrow y=x+1$

Sustituimos $y=x+1$ y $z=x+2$ en la primera ecuación:

$x={\displaystyle \frac{x+2}{2}}+{\displaystyle \frac{x+1}{3}}$

$6x=3(x+2)+2(x+1)=5x+8\Rightarrow x=8$

$y=8+1=9,z=8+2=10$

Las tres notas están entre $0$ y $10$, de modo que la solución es admisible.

El enunciado es posible: Antonio saca un $8$, María un $9$ y Paula un $10$.