Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Una ONG aragonesa de reciente creación tiene tres sedes, una en Huesca, otra en Zaragoza y otra en Teruel. El número total de voluntarios es de 31. Para que Huesca y Zaragoza tuvieran el mismo número de voluntarios tendrían que trasladarse 3 de Huesca a Zaragoza. Además, el número de los voluntarios de la sede de Huesca excede en 1 a la suma de los voluntarios de las otras dos sedes. ¿Cuántos voluntarios hay en cada una de las tres sedes? [2 puntos]

Se llaman $x$, $y$ y $z$ al número de voluntarios de las sedes de Huesca, Zaragoza y Teruel, respectivamente. Cada una de las tres condiciones del enunciado se traduce en una ecuación lineal.

El total de voluntarios es 31:

$x+y+z=31$

Si se trasladan 3 voluntarios de Huesca a Zaragoza, las dos sedes quedan igualadas:

$x-3=y+3\Rightarrow x-y=6$

Huesca tiene un voluntario más que las otras dos sedes juntas:

$x=y+z+1$

Resolvemos por sustitución. De la tercera ecuación, $y+z=x-1$, que llevado a la primera da una ecuación con una sola incógnita:

$x+(x-1)=31\Rightarrow 2x=32\Rightarrow x=16$

$y=x-6=16-6=10$

$z=31-x-y=31-16-10=5$

Comprobamos las tres condiciones: los voluntarios suman $16+10+5=31$; trasladando 3 de Huesca a Zaragoza quedarían $13$ en cada una; y $10+5+1=16$ son los de Huesca.

La sede de Huesca tiene 16 voluntarios, la de Zaragoza 10 y la de Teruel 5.