Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\{\begin{array}{rcrcrcl}-x& +& 3y& +& z& =& 5\\ 2x& & & +& az& =& -4\\ 4x& & & -& 3z& =& a+1\end{array}$

a) Discuta según los valores de $a\in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible). [1 punto]

b) Resuelva el sistema para $a=1$. [1 punto]

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 3& 1\\ 2& 0& a\\ 4& 0& -3\end{array}\right);A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 3& 1& 5\\ 2& 0& a& -4\\ 4& 0& -3& a+1\end{array}\right)$

La segunda columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar el determinante por ella:

$\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=-3\mid \begin{array}{cc}2& a\\ 4& -3\end{array}\mid =-3(-6-4a)=18+12a$

$18+12a=0\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

$\text{Si }a\mathrm{\ne }-{\displaystyle \frac{3}{2}}:\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=\mathrm{ran}(A^{\ast })=3=\text{n.º de inc}\acute{\text{o}}\text{gnitas}$

En ese caso el sistema es compatible determinado.

Para $a=-\frac{3}{2}$ el determinante se anula, pero queda un menor de orden 2 no nulo:

$\mid \begin{array}{cc}-1& 3\\ 2& 0\end{array}\mid =-6\mathrm{\ne }0\Rightarrow \mathrm{ran}(A)=2$

Estudiamos ahora la ampliada. Con $a=-\frac{3}{2}$ el sistema queda

$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}-1& 3& 1& 5\\ 2& 0& -\frac{3}{2}& -4\\ 4& 0& -3& -\frac{1}{2}\end{array}\right)$

La tercera fila de la matriz de coeficientes es el doble de la segunda, pero los términos independientes no guardan esa proporción, ya que $2\cdot (-4)=-8\mathrm{\ne }-\frac{1}{2}$. Restando a la tercera fila el doble de la segunda:

$F_3-2F_2=(0,0,0|{\displaystyle \frac{15}{2}})$

Aparece la ecuación $0=\frac{15}{2}$, que es imposible, de modo que $\mathrm{ran}(A^{\ast })=3\mathrm{\ne }2=\mathrm{ran}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\mathrm{\ne }-\frac{3}{2}$ e incompatible si $a=-\frac{3}{2}$. No es compatible indeterminado para ningún valor del parámetro.



Para $a=1$ se tiene $\mathrm{\mid }A\mathrm{\mid }=18+12=30\mathrm{\ne }0$, luego el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\{\begin{array}{l}-x+3y+z=5\\ 2x+z=-4\\ 4x-3z=2\end{array}$

Despejamos $z$ de la segunda ecuación y lo llevamos a la tercera, que solo contiene $x$ y $z$:

$z=-4-2x$

$4x-3(-4-2x)=2\Rightarrow 4x+12+6x=2\Rightarrow 10x=-10\Rightarrow x=-1$

$z=-4-2(-1)=-2$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$-(-1)+3y+(-2)=5\Rightarrow 3y=6\Rightarrow y=2$

Comprobamos la solución en las tres ecuaciones: $1+6-2=5$, $-2-2=-4$ y $-4+6=2$.

La solución única del sistema para $a=1$ es $(x,y,z)=(-1,2,-2)$.